考点11 导数与函数的单调性，极值，最值-2021年新高考数学一轮复习考点扫描

考点11 导数的单调性、极值、最值 【考点剖析】 1.最新考试说明： 1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(对多项式函数不超过三次)． 【2020年高考全国Ⅰ卷理数21】已知函数 ． （1）当 时，讨论 的单调性； （2）当 时， ，求 的取值范围． 【2020年高考全国Ⅱ卷文数21】已知函数 ． （1）若 ，求 的取值范围； （2）设 ，讨论函数 的单调性． 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数不超过三次). 【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知函数 ．证明： （1） 存在唯一的极值点； （2） 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数． 【2020年高考天津卷20】已知函数 ， 为 的导函数． （Ⅰ）当 时， （i）求曲线 在点 处的切线方程； （ii）求函数 的单调区间和极值； 3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(对多项式函数不超过三次)． 【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数 ． （1）讨论 的单调性； （2）当0<a<3时，记 在区间[0，1]的最大值为M，最小值为m，求 的取值范围． 【2019年高考北京文数】已知函数 ． （1）求曲线 的斜率为1的切线方程； （2）当 时，求证： ； （3）设 ，记 在区间 上的最大值为M（a），当M（a）最小时，求a的值． 4.会利用导数解决某些实际问题. 【2020年高考江苏卷17】某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底 在水平线 上，桥 与 平行， 为铅垂线（ 在 上）．经测量，左侧曲线 上任一点 到 的距离 （米）与 到 的距离 （米）之间满足关系式 ；右侧曲线 上任一点 到 的距离 （米）与 到 的距离 （米）之间满足关系式 ．己知点 到 的距离为 米． （1）求桥 的长度； （2）计划在谷底两侧建造平行于 的桥墩 和 ，且 为 米，其中 ， 在 上（不包括端点）．桥墩 每米造价 （万元），桥墩 每米造价 （万元）（ ）， 问 为多少米时，桥墩 与 的总造价最低？ 2.命题方向预测： 1.利用导数研究函数的单调性、极值是近几年高考的热点． 2.选择题、填空题侧重于考查导数的运算及导数的几何意义，解答题侧重于利用导数研究函数的单调性、极值、最值等，往往与函数、解析几何、不等式、数列等交汇命题，一般难度较大. 3.利用导数解决生活中的最优化问题，近几年考查也较多. 3.课本结论总结： 1． 函数的单调性 在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减． 2． 函数的极值 (1)判断f(x0)是极值的方法 一般地，当函数f(x)在点x0处连续时， ①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 ①求f′(x)； ②求方程f′(x)＝0的根； ③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值． 3． 函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． (3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求f(x)在(a，b)内的极值； ②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 4． 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)； (2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0； (3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值； (4)回归实际问题作答． 5． 不等式问题 (1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题． (2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题． 4.名师二级结论： 1.f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件． 2.函数在某区间上或定义域内极大值不是唯一的． 3.函数的极大值不一定比极小值大． 4.对可导函数f(x)，f′(x0)