3.1 导数的概念及运算-2020-2021学年新高考数学一轮复习讲义

§3.1　导数的概念及运算 1．导数的概念 (1)函数y＝f (x)从x1到x2的平均变化率 函数y＝f (x)从x1到x2的平均变化率为，若Δx＝x2－x1，Δy＝f (x2)－f (x1)，则平均变化率可表示为. (2)设函数y＝f (x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，当Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个常数A，则称f (x)在x＝x0处可导，并称常数A为函数f (x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)． 2．导数的几何意义 函数y＝f (x)在点x＝x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f (x)在点P(x0，f (x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)． 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导数 f (x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f (x)＝xα(α∈Q*) f′(x)＝αxα－1 f (x)＝sin x f′(x)＝cos x f (x)＝cos x f′(x)＝－sin x f (x)＝ex f′(x)＝ex f (x)＝ax(a>0) f′(x)＝axln a f (x)＝ln x f′(x)＝ f (x)＝logax(a>0，a≠1) f′(x)＝ 4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 (1)[f (x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f (x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f (x)g′(x)； (3)′＝(g(x)≠0)． 5．复合函数的导数 复合函数y＝f (g(x))的导数和函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 概念方法微思考 1．根据f′(x)的几何意义思考一下，|f′(x)|增大，曲线f (x)的形状有何变化？ 提示　|f′(x)|越大，曲线f (x)的形状越来越陡峭． 2．直线与曲线相切，是不是直线与曲线只有一个公共点？ 提示　不一定． 题组一　思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f′(x0)是函数y＝f (x)在x＝x0附近的平均变化率．(　×　) (2)f′(x0)＝[f (x0)]′.(　×　) (3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　×　) (4)函数f (x)＝sin(－