3.2 导数与函数的单调性-2020-2021学年新高考数学一轮复习讲义

§3.2　导数与函数的单调性 函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f (x)在区间(a，b)上可导 f′(x)>0 f (x)在(a，b)内单调递增 f′(x)<0 f (x)在(a，b)内单调递减 f′(x)＝0 f (x)在(a，b)内是常数函数 概念方法微思考 “f (x)在区间(a，b)上是增函数，则f′(x)>0在(a，b)上恒成立”，这种说法是否正确？ 提示　不正确，正确的说法是： 可导函数f (x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任一非空子区间内都不恒为零． 题组一　思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)如果函数f (x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f (x)在此区间内没有单调性．(　√　) (2)如果函数f (x)在某个区间内恒有f′(x)≥0，则f (x)在此区间内单调递增．(　×　) (3)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f (x)在(a，b)内是减函数．(　√　) 题组二　教材改编 2.如图是函数y＝f (x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是(　　) A．在区间(－2,1)上f (x)是增函数 B．在区间(1,3)上f (x)是减函数 C．在区间(4,5)上f (x)是增函数 D．在区间(3,5)上f (x)是增函数 答案　C 解析　在(4,5)上f′(x)>0恒成立，∴f (x)是增函数． 3．函数f (x)＝cos x－x在(0，π)上的单调性是(　　) A．先增后减 B．先减后增 C．增函数 D．减函数 答案　D 解析　因为在(0，π)上恒有f′(x)＝－sin x－1<0. 所以f (x)在(0，π)上是减函数，故选D. 4．函数f (x)＝ex－x的单调递增区间是________，单调递减区间是________． 答案　(0，＋∞)　(－∞，0) 解析　由f′(x)＝ex－1>0，解得x>0，故其单调递增区间是(0，＋∞)；由f′(x)<0，解得x<0，故其单调递减区间为(－∞，0)． 题组三　易错自纠 5．若函数f (x)＝x3－x2＋ax＋4的单调减区间为[－1,4]，则实数a的值为________． 答