3.3 导数与函数的极值、最值-2020-2021学年新高考数学一轮复习讲义

§3.3　导数与函数的极值、最值 1．函数的极值与导数 条件 f′(x0)＝0 x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0 x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0 图象 极值 f (x0)为极大值 f (x0)为极小值 极值点 x0为极大值点 x0为极小值点 2.函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f (x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数f (x)在[a，b]上单调递增，则f (a)为函数的最小值，f (b)为函数的最大值；若函数f (x)在[a，b]上单调递减，则f (a)为函数的最大值，f (b)为函数的最小值． 概念方法微思考 1．对于可导函数f (x)，“f′(x0)＝0”是“函数f (x)在x＝x0处有极值”的________条件．(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”) 提示　必要不充分 2．函数的最大值一定是函数的极大值吗？ 提醒　不一定，函数的最值可能在极值点或端点处取到． 题组一　思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的极大值不一定比极小值大．(　√　) (2)函数的极小值一定是函数的最小值．(　×　) (3)开区间上的单调连续函数无最值．(　√　) 题组二　教材改编 2．函数f (x)＝2x－xln x的极值是(　　) A. B. C．e D．e2 答案　C 解析　因为f′(x)＝2－(ln x＋1)＝1－ln x，当f′(x)>0时，解得0<x<e；当f′(x)<0时，解得x>e，所以x＝e时，f (x)取到极大值，f (x)极大值＝f (e)＝e.故选C. 3．当x>0时，ln x，x，ex的大小关系是________． 答案　ln x<x<ex 解析　构造函数f (x)＝ln x－x，则f′(x)＝－1，可得x＝1为函数f (x)在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点，故f (x)≤f (1)＝－1<0，所以ln x<x.同理可得x<ex，故ln x<x<ex. 4．现有一块边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒，该方盒容积的最大值是________． 答案　a3 解析　容积V＝(a－2x)2x,0<x<，则V′＝2(a－2x)×(－2x)＋(a－2x)2＝(a－2