第二讲 勾股定理的逆定理（基础讲解）-2020-2021学年八年级数学上册基础讲练（北师大版）

第二讲 勾股定理的逆定理 一、勾股定理的逆定理 (1)勾股定理的逆定理的内容：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形． (2)勾股定理的逆定理的释疑：不少的同学对知道三角形三边满足a2＋b2＝c2能得到直角三角形这样的一种结论持有怀疑的态度，其实通过三角形的全等可以很简单地证明出来．比如：如果在△ABC中，AB＝c，BC＝a，CA＝b，并且满足a2＋b2＝c2 (如图所示)，那么∠C＝90°. 作△A1B1C1，使∠C1＝90°，B1C1＝a，C1A1＝b，则A1B＝a2＋b2. ∵a2＋b2＝c2，∴A1B1＝c(A1B1＞0)． 在△ABC和△A1B1C1中， ∵BC＝a＝B1C1，CA＝b＝C1A1，AB＝c＝A1B1， ∴△ABC≌△A1B1C1. ∴∠C＝∠C1＝90°. 辨误区 勾股定理的逆定理的条件 (1)不能说成在直角三角形中，因为还没有确定直角三角形，当然也不能说“斜边”和“直角边”． (2)当满足a2＋b2＝c2时，c是斜边，∠C是直角． 利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的思路是：先确定最长边，算出最长边的平方及另两边的平方和，如果最长边的平方与另两边的平方和相等，则此三角形为直角三角形． 对啊！到目前为止判定直角三角形的方法有： ①说明三角形中有一个直角； ②说明三角形中有两边互相垂直； ③勾股定理的逆定理. 1、如图所示，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AD＝12，BD＝13，问：AD⊥AB吗？试说明理由． 解：AD⊥AB. 理由：根据勾股定理得AB＝＝5. 在△ABD中，AB2＋AD2＝52＋122＝169，BD2＝132＝169， 所以AB2＋AD2＝BD2. 由勾股定理的逆定理知△ABD为直角三角形，且∠BAD＝90°. 故AD⊥AB. 二、勾股定理的逆定理与勾股定理的关系 勾股定理是通过“形”的状态来反映“数”的关系的，而勾股定理的逆定理是通过“数”的关系来反映“形”的状态的． (1)勾股定理是直角三角形的性质定理，勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，二者是互逆的． (2)联系：①两者都与a2＋b2＝c2有关，②两者所讨论的问题都是直角三角形问题． (3)区别：勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到这个直角三角形三边的数量关系“a2＋b2＝c2”；勾股定