考点04 基本不等式-备战2021年新高考数学一轮复习考点帮

考点04 基本不等式 【命题解读】 基本不等式是高考的一个重点，根据近几年的高考分析，基本不等式的考察主要是利用基本不等式求最值，求未知参数的范围等等，题目难度主要集中在中难度上，基本不等式牵扯到的知识点比较多，主要集中在导数、数列、三角函数、解析几何等等。 【命题预测】 预计2021年的高考对于基本不等式的考察还是和往年一样，变化不是很大，主要集中在应用上。 【复习建议】 集合复习策略： 1.理解基本不等式以及几个重要的不等式； 2.掌握基本不等式求最值等方面的应用。 考向一　基本不等式 1．基本不等式≤ (1)基本不等式成立的条件: a>0，b>0.  (2)等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号.  2.几个重要的不等式 (1)a2+b2≥2ab (a，b∈R).  (2)+≥2a，b同号).  (3)ab≤2(a，b∈R). (4)2≤(a，b∈R). 3.算术平均数与几何平均数 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为: 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 4.利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x=y时，x+y有最小值，是2 (简记:积定和最小).  (2)如果和x+y是定值p，那么当且仅当x=y时，xy有最大值，是 (简记:和定积最大).  1. 若实数a，b满足，则的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】因为，则， 当且仅当且时取等号，即时取等号， 此时取得最小值3． 故选：B． 2. 【2020甘肃省静宁县第一中学高三其他（理）】 若圆关于直线对称，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知圆心在直线上，则.又因为，所以，当且仅当时，即时取等号， 此时， 故选C 3. 【2020河北易县中学高三其他】已知，是函数的两个极值点，则的最小值为（ ） A． B．9 C．5 D． 【答案】A 【解析】由题可知． 因，为函数的两个极值点， 所以，，故，， 又，则且 所以， 当且仅当，即，时取得最小值． 此时，符合条件． 故选A 考向二　基本不等式应用 1.基本不等式与函数相结合，在函数中的应用； 2.基本不等式在求解恒成立问题中的应用，以及求解未知参数等问题。 1. 【2020浙江省单元测试】已知不等式对任意实数、恒成立，则实数的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】. 若，则，从而无最小值，不合乎题意； 若，则，. ①当时，无最小值，不合乎题意； ②当时，，则不恒成立； ③当时，， 当且仅当时，等号成立. 所以，，解得，因此，实数的最小值为. 故选C. 2.【2020湖南省雅礼中学月考】函数的图像恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由题意可得函数的图象恒过定点， 又点在直线上，∴， ∴=， 当且仅当，即等号成立， 所以的最小值为． 故选B. 题组一（真题在线） 1. 【2020年高考江苏】已知，则的最小值是 ． 2. 【2020年高考天津】已知，且，则的最小值为 ． 3. 【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知a>0，b>0，且a+b=1，则 A． B． C． D． 4. 【2019天津高考理科】设，则的最小值为______. 5. 【2017山东高考】若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是 (　　) A. a+<<log2(a +b) B. <log2(a +b)<a+ C. a+<log2 (a +b)< D. log2(a +b)<a+< 6. 【2018天津卷】已知a，b∈R,且a-3b+6=0,则2a+的最小值为　 　　　.  7. 【2019年新高考全国Ⅰ卷】已知为正数，且满足，证明： （1） （2） 题组二 1. 【2020河北省正定中学高三质量检测数学】圆关于直线对称，则的最小值是 A． B．3 C． D． 2.【2020浙江省高一单元测试】已知不等式对任意实数、恒成立，则实数的最小值为（ ） A． B． C． D． 3. 【2020山东省高三其他】在三棱柱中，，侧棱底面ABC，若该三棱柱的所有顶点都在同一个球O的表面上，且球O的表面积的最小值为，则该三棱柱的侧面积为（ ） A． B． C． D．3 4. 【2020浙江省单元测试】已知函数，则该函数的（ ）． A．最小值为3 B．最大值为3 C．没有最小值 D．最大值为 5.【2020河北易县中学高三其他（理）】已知函数. （1）求不等式的解集； （2）记的最大值