第二单元过关自测卷 B卷 能力提升卷-高中数学必修一同步学情跟进AB卷（北师大版）

—１１６　　 — １１.Ｃ　 【解析】 ｆ(ｘ１)－ｆ(ｘ２)ｘ１ －ｘ２ >０⇔ｆ(ｘ)在(０ꎬ＋∞ )上为增函数ꎬ而 ｆ(ｘ)＝ ２ ｘ 及 ｆ(ｘ)＝ －３ｘ＋１ 在(０ꎬ＋∞ )上均为减函数ꎬ故排除 ＡꎬＢꎬｆ(ｘ) ＝ ｘ＋ １ｘ 在(０ꎬ１)上递减ꎬ在[１ꎬ＋∞ )上递增ꎬ故排除 Ｄ. １３.(－∞ ꎬ０)∪(０ꎬ１]　 【解析】由 １－ｘ≥０ꎬ ｘ≠０ꎬ{ 解得 ｘ≤１ 且 ｘ≠０ꎬ故函数的定义域为(－∞ ꎬ０)∪(０ꎬ１] . １４. ２ｘ －ｘ(ｘ≠０)　 【解析】因为 ｆ(ｘ)＋２ｆ １ ｘ( ) ＝ ３ｘꎬ①　 所以以 １ｘ 代替 ｘꎬ得 ｆ １ｘ( ) ＋２ｆ(ｘ)＝ ３ｘ .②　 由①②ꎬ得 ｆ(ｘ)＝ ２ｘ －ｘ(ｘ≠０) . １５.２　 【解析】由题图可知 ｆ(３)＝ １ꎬ故 ｆ( ｆ(３))＝ ｆ(１)＝ ２. １６.－４ 或 ２　 【解析】当 ａ≤０ 时ꎬｆ(ａ)＝ －ａ＝ ４ꎬ所以 ａ＝－４ꎻ当 ａ>０ 时ꎬｆ(ａ)＝ ａ２ ＝ ４ꎬ所以 ａ＝ ２.故 ａ＝－４ 或ａ＝ ２. １７.【解】(１)由函数定义ꎬ得当 ｘ＝ １ 时ꎬ应有 １＋ａ＝ １２－２×１ꎬ即 ａ＝－２.(２)由(１)ꎬ得 ｆ(ｘ)＝ ｘ－２ꎬｘ≤１ꎬ ｘ２ －２ｘꎬｘ≥１.{ 因为 ２>１ꎬ所以 ｆ(２)＝ ２２－２×２＝ ０ꎬ因为 ０<１ꎬ所以 ｆ( ｆ(２))＝ ｆ(０)＝ ０－２＝ －２.(３)当 ｍ≤１ 时ꎬｆ(ｍ)＝ ｍ－２ꎬ此时 ｍ－２ ＝ ３ꎬ则 ｍ ＝ ５ꎬ与 ｍ≤１ 矛盾ꎬ舍去ꎻ当 ｍ≥１ 时ꎬｆ (ｍ)＝ ｍ２ －２ｍꎬ此时 ｍ２ －２ｍ＝ ３ꎬ得 ｍ＝－１ 或 ｍ＝ ３.又因为 ｍ≥１ꎬ所以 ｍ＝ ３.综上可知满足题意的 ｍ 的值为 ３. １８.【解】(１)由 ｆ(－１)＝ １＋３＋ｍ＝ ５ꎬ解得 ｍ＝ １ꎬ∴ ｆ(ｘ)＝ ｘ２ －３ｘ＋１.ｆ(ｘ)>－１⇔ｘ２ －３ｘ＋２>０ꎬ解得 ｘ<１ 或 ｘ>２ꎬ∴ ｆ(ｘ)>－１ 的解集为{ｘ ｜ ｘ<１ 或 ｘ>２} .(２)∵ ｆ(ｘ)＝ ｘ２ －３ｘ＋１＝ ｘ－ ３２( ) ２ － ５４ ꎬ且 ３ ２ > －２＋４ ２ ꎬ∴ ｘ＝ ３ ２ 时ꎬｆ(ｘ)ｍｉｎ ＝ － ５ ４ ꎬｘ＝－２ 时ꎬｆ(ｘ)ｍａｘ ＝ ｆ(－２)＝ １１. １９.【解】(１)∵ 幂函数 ｆ(ｘ)＝ ｘα的图像经过点(２ꎬ ２)ꎬ∴ ２α ＝ ２ꎬ解得 α＝ １２ ꎬ∴ 幂函数 ｆ(ｘ)＝ ｘ １ ２ ＝ ｘ(ｘ≥０) .(２)由(１)知 ｆ(ｘ)在定义 域[０ꎬ＋∞ )上单调递增ꎬ则不等式 ｆ(１＋ａ)>ｆ(３－ａ)可化为 １＋ａ≥０ꎬ ３－ａ≥０ꎬ １＋ａ>３－ａꎬ{ 解得 １<ａ≤３ꎬ∴ 实数 ａ 的取值范围是(１ꎬ３] . ２０.【解】(１)证明:设 １<ｘ１ <ｘ２ꎬ则 ｆ(ｘ１)－ｆ(ｘ２)＝ ｘ１ ＋１ｘ１ －１－ ｘ２ ＋１ ｘ２ －１ ＝ (ｘ１ ＋１)(ｘ２ －１)－(ｘ２ ＋１)(ｘ１ －１) (ｘ１ －１)(ｘ２ －１) ＝ ２(ｘ２ －ｘ１) (ｘ１ －１)(ｘ２ －１) .因为ｘ１ >１ꎬｘ２ >１ꎬ所以 ｘ１ －１>０ꎬｘ２ －１>０ꎬ即(ｘ１ －１)(ｘ２ －１)>０ꎬ又因为 ｘ１ <ｘ２ꎬ所以ｘ２ －ｘ１ >０ꎬ所以 ｆ(ｘ１)－ｆ(ｘ２ ) >０ꎬ即ｆ(ｘ１)>ｆ(ｘ２) .因此函数 ｆ(ｘ)在(１ꎬ＋∞ )上 是减函数.(２)解:因为[３ꎬ５]⊆(１ꎬ＋∞ )ꎬ所以函数 ｆ(ｘ)在[３ꎬ５]上是减函数ꎬ因此ｆ(ｘ)ｍａｘ ＝ ｆ(３)＝ ２ꎬｆ(ｘ)ｍｉｎ ＝ ｆ(５)＝ ３２ . ２１.【解】(１)解:设 ｆ(ｘ)＝ ａｘ２ ＋ｂｘ＋ｃꎬ∴ ｆ(０)＝ ｃꎬ又 ｆ(０)＝ ８ꎬ∴ ｃ＝ ８.又 ｆ(ｘ＋１)＝ ａ(ｘ＋１)２＋ｂ(ｘ＋１)＋ｃꎬ∴ ｆ(ｘ＋１)－ｆ(ｘ)＝ [ａ(ｘ＋１)２ ＋ｂ(ｘ＋ １)＋ｃ]－(ａｘ２ ＋ｂｘ＋ｃ)＝ ２ａｘ＋(ａ＋ｂ) .结合已知得 ２ａｘ＋(ａ＋ｂ)＝ －２ｘ＋１ꎬ∴ ２ａ＝－２ꎬ ａ＋ｂ＝ １.{ ∴ ａ＝ －１ꎬｂ＝ ２.∴ ｆ(ｘ)＝ －ｘ２ ＋２ｘ＋８.(２)证明:设任意 的 ｘ１ꎬｘ２∈[１ꎬ＋∞ )且 ｘ１ <ｘ２ꎬ则ｆ(ｘ１)－ｆ(ｘ２)＝ (－ｘ２１ ＋２ｘ１ ＋８)－(－ｘ２２ ＋２ｘ２ ＋８)＝ (ｘ２２ －ｘ２１)＋２(ｘ１ －ｘ２ )＝ (ｘ２ －ｘ１ ) (ｘ２ ＋ｘ１ －２) .又由假设知 ｘ２ －ｘ１ >０ꎬ而 ｘ２ >ｘ１≥１ꎬ∴ ｘ２ ＋ｘ１ －２>０ꎬ∴ (ｘ２ －ｘ１)(ｘ２ ＋ｘ１ －２)>０ꎬ∴ ｆ(ｘ１)－ｆ(ｘ２)>０ꎬｆ(ｘ１)>ｆ(ｘ２) .∴ ｆ(ｘ)在区间[１ꎬ＋∞ )上是减函数. ２２.【解】(１)由题表作出(３０ꎬ６０)ꎬ(４０ꎬ３０)ꎬ(