人教A版必修1与函数有关的恒成立问题例题讲解

与函数有关的恒成立问题例题讲解 最常见的是二次函数的恒成立问题,分为两种题型: （1）二次函数在R上的恒成立问题; （2）二次函数在给定区间上的恒成立问题. 对于二次函数 : ①若 ≥0在R上恒成立,则 ; ②若 ≤0在R上恒成立,则 . 函数恒成立问题的求解方法（转化化归思想）分离参数法 函数的恒成立问题,一般将其转化为求函数的最大值或最小值问题: ① ≤ 恒成立 ≤ ; ② ≥ 恒成立 ≥ . 在求解恒成立问题时,把参数分离出来,使不等式的一端是含有参数的代数式,另一端是一个区间上的具体函数,这样就把问题转化为一端是函数,另一端是参数的不等式,便于问题的解决.这种方法叫做分离参数法. 结论 二次函数的给定闭区间上的最值问题 求二次函数的最大（小）值有两种类型:一是函数的定义域为实数集R,这时只要根据抛物线的开口方向,应用配方法即可求出最大（小）值;二是函数的定义域为某一区间,这是函数的最值由它的单调性确定,而它的单调性又与抛物线的开口方向和对称轴的位置（在区间上、在区间的左侧、在区间的右侧）来决定,当开口方向或对称轴位置不确定时,还需要进行分类讨论. 求二次函数 在区间 上的最值分为以下三种情况: （1）对称轴在区间的左侧 若 ,则 在区间 上是增函数,最大值为 ,最小值为 ; （2）对称轴在区间内 若 ≤ ≤ ,则 的最小值为 ,最大值为 、 中的较大者（或区间端点 中与直线 的距离较大的那一个端点所对应的函数值）; 即最小值为 ,最大值为 . （3）对称轴在区间的右侧 若 ,则 在区间 上是减函数,最大值为 ,最小值为 . 注意:当抛物线的对称轴 在区间 上,即 ≤ ≤ 时,函数的最小值在顶点处获得,为顶点的纵坐标,即 ,函数最大值的确定需要分为两种情况: 区间 的中点为 （由中点坐标公式得到）. ①当 ≤ ≤ 时（即右端点 距离对称轴较远）,函数的最大值为 ; ②当 ≤ 时（即左端点 距离对称轴较远）,函数的最大值为 . 综上所述,二次函数的最大值为 . 常见的二次函数最值问题类型 类型1 定轴定区间 类型二 动轴定区间 类型三 定轴动区间 类型四 动轴动区间 二次函数的最值的图象说明 例题讲解 例1. 函数 ,当 R时, ≥0恒成立,求实数 的取值范围. 分析:这是与二次函数有关的恒成立问题,也是二次函