人教A版必修1函数的性质的应用例题讲解

函数的性质的应用举例 一、知识点回顾 1. 定义法判断和证明函数的单调性 用定义法判断函数单调性的一般步骤:取值、作差、变形、判号、定论. （1）取值 设 是给定区间上的任意两个值,且 ; （2）作差 计算 ; （3）变形 对 进行有利于判断符号的变形,如因式分解、配方、通分、有理化等; （4）判号 即判断 的符号,当符号不确定时,需要进行分类讨论; （5）定论 根据函数单调性的定义得出结论,即确定函数在给定区间上的单调性. 在以上步骤中,作差是基础,变形是关键,判号是目的. 2. 抽象函数的单调性 抽象函数是指没有给出具体解析式的函数. 判断抽象函数单调性的方法: （1）凑 凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论; （2）赋值 给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试. 注意 ①若给出的是“和型”抽象函数 ,判断符号时要变形为: 或 ; ②若给出的是“积型”抽象函数 ,判断符号时要变形为: 或 . 3. 函数奇偶性的判定 判断函数奇偶性的方法有三种:定义法、图象法和性质法. 用定义法判断函数的奇偶性 （1）求 求函数的定义域,若定义域关于原点对称,则进行第（2）步;若定义域关于原点不对称,则函数是非奇非偶函数. （2）判 求出 ,然后根据 与 的关系,确定函数的奇偶性; ①若 ,或 ,或 （ ）,则函数 是偶函数; ②若 ,或 ,或 （ ）,则函数 是奇函数; ③若 ,则函数 是非奇非偶函数. 说明: 若要说明一个函数不是偶函数（或奇函数）,只需在函数定义域内找到一个数 ,有 （或 ）即可.(见后面的相关例题) 图象法判断函数的奇偶性 对于容易画出图象的函数,若函数的图象关于 轴对称,则它是偶函数;若函数的图象关于原点对称,则它是奇函数. 性质法判断函数的奇偶性 两个在公共定义域上具有奇偶性的函数,它们的和与积所构成的函数的奇偶性为: 奇 奇 奇; 偶 偶 偶;（一奇一偶的和的单调性不能确定） 奇 奇 偶; 偶 偶 偶; 奇 偶 奇. 二、函数性质的应用举例 例1. 已知函数 是奇函数,且 . （1）求函数 的解析式; （2）判断 在区间 上的单调性,并用定义证明. 解:（1）∵ ,∴ ,整理得: . ∵函数 是奇函数,∴ ∴ ,∴ ,解之得: . 把 代入 ,解得 . ∴函数 的解析式为 ; （2） 在区间 上为增函