人教A版高一数学函数的单调性与奇偶性的综合应用例题讲解

函数的单调性与奇偶性的综合应用 例1. 设函数 的定义域为R,并且满足 , ,当 时, . （1）求 的值; （2）判断函数的奇偶性; （3）如果 ,求 的取值范围. 分析:（3）,在求解与抽象函数一个的不等式时,往往是利用函数的单调性把符号“ ”脱掉,使抽象不等式转化为具体的不等式,此时要特别注意函数的定义域. 解:（1）令 ,则有 ∴ ; （2）令 ,则有 ∴ ∵函数 的定义域为R,关于原点对称 ∴函数 为奇函数; （3）令 ,则有 ∵ ,∴ . 任取 R,且 ,则 ∵当 时, ,∴ ∴ ∴ ∴函数 在R上为增函数 ∵ ,∴ ∴ ∵函数 在R上为增函数 ∴ ,解之得: . ∴ 的取值范围是 . 总结 在求解与抽象函数一个的不等式时,要用到函数的单调性,从而把抽象函数的不等式转化为具体的不等式求解.若函数的单调性未知,则在解不等式前要先用定义法确定函数的单调性,注意函数的定义域和单调区间. 例2. 已知函数 是定义在 上的不恒为零的函数,对于任意非零实数 满足 ,且当 时,有 . （1）判断并证明函数 的奇偶性; （2）证明函数 在 上为增函数,并求不等式 的解集. 分析:（1）,函数 满足 ,为“和型”抽象函数,在判号时常利用条件变形为: . 解:（1）函数 为偶函数,理由如下: ∵ 是定义在 上的函数 ∴其定义域关于原点对称. 令 ,则有 ,∴ 令 ,则有 ,∴ 令 ,则有 ∴ ∴函数 为偶函数; （2）证明:任取 EMBED Equation.3 ,且 ,则 ∵当 时,有 ,∴ . ∴ ∴ ∴函数 在 上为增函数. 由（1）知: ∵ ,∴ ∴ ∵函数 在 上为增函数 ∴ ,解之得: . ∴不等式 的解集为 . 注意:根据 ,令 ,则 ,得到 ,但是 不在函数 的定义域内,所以不能用来求解（2）中的不等式. 例3. 已知函数 是定义在 上的奇函数,当 时,函数 EMBED Equation.3 . （1）求 在 上的解析式; （2）求 在 上的值域. 结论 （1）若奇函数在原点处有定义,则 . （2）奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数（一个是函数的最大值,另一个是函数的最小值） 利用函数的奇偶性求函数解析式的一般方法是: （1）“求谁设谁”,即求函数在哪个区间上的解析式,就设 在哪个区间上; （2）利用已知区间的函数解析式矩形化简,得到 的解