函数的单调性、奇偶性的综合应用 专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

微专题　函数的单调性、奇偶性的综合应用 类型1　最值问题 1.如果奇函数f(x)在区间[1,4]上单调递增且最大值是5,那么f(x)在区间[-4,-1]上(　　) A.单调递增且最大值为-5 B.单调递增且最小值为-5 C.单调递减且最大值为-5 D.单调递减且最小值为-5 2.若函数y=f(x)是奇函数,且函数F(x)=af(x)+bx+2在(0,+∞)上有最大值8,则函数y=F(x)在(-∞,0)上有(　　) A.最大值-8 B.最小值-8 C.最小值-6 D.最小值-4 3.已知函数f(x)=在区间[-3,3]上的最大值为M,最小值为N,则M+N的值为　　　　.  4.已知函数f(x)=x+. (1)判断并证明f(x)的奇偶性; (2)证明:f(x)在[1,+∞)上单调递增; (3)求f(x)在[1,4]上的最大值及最小值. 类型2　解不等式(求参)问题 5.(2025广东深圳期末)定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,且f(-2)=0,则不等式xf(x+2)≥0的解集是(　　) A.[-2,0]∪[2,+∞) B.(-∞,-2]∪[2,+∞) C.[-2,2] D.[-4,+∞) 6.已知函数f(x)=x|x|,若对任意的x≤1有f(x+m)+f(x)<0恒成立,则实数m的取值范围是(　　) A.(-∞,-1) B.(-∞,-1] C.(-∞,-2) D.(-∞,-2] 7.(2025山东济宁期中)(多选)已知函数f(x)(x∈R)是偶函数,且在(-∞,0)上单调递减,若f(2ax)<f(2x2+1)对任意的x∈R恒成立,则实数a的取值范围可以是(　　) A.(-,1) B.(-∞,1) C.(0,) D.(,+∞) 8.已知函数f(x)=是奇函数,且在上单调递减,则实数a=　　　　,实数m的取值范围用区间表示为　　　　.  9.函数f(x)为定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,且f(3)=1,对于任意x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,都有>0成立,则f(x)≤的解集为　　　　.  10.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2+3x. (1)求函数f(x)的解析式; (2)若f(2a-1)+f(4a-3)>0,求实数a的取值范围. 11.已知函数f(x)的定义域为(-1,1),且满足对任意x,y∈(-1,1),都有f(x)+f(y)=f. (1)求证:函数f(x)为奇函数; (2)当x∈(0,1)时, f(x)<0,求证:f(x)在(-1,1)上单调递减; (3)在(2)的条件下解不等式f(x2+x-1)+f>0. 类型3　比较大小问题 12.已知定义在R上的奇函数满足f(x+8)=f(x),且在区间[0,2]上单调递增,则(　　) A.f(25)<f(-1)<f(80) B.f(25)<f(80)<f(-1) C.f(-1)<f(25)<f(80) D.f(-1)<f(80)<f(25) 13.(2025广东广州阶段练习)定义在R上的偶函数f(x),满足f(2+x)=f(2-x),在区间[-2,0]上单调递减,设a=f(-1.5),b=f(),c=f(5),则a,b,c的大小顺序为(　　) A.c<b<a B.b<c<a C.a<b<c D.b<a<c 14.(2025广东潮州期中)已知函数f(x)=ax2+b是定义在[a,a+2]上的偶函数,g(x)=f(x-2),则g(-2),g(3),g(2)的大小关系为(　　) A.g(-2)>g(3)>g(2) B.g(3)>g(2)>g(-2) C.g(2)>g(-2)>g(3) D.g(2)>g(3)>g(-2) 15.已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数和减函数,且x1+x2>0,x1+x3>0,x2+x3>0,则f(x1)+f(x2)+f(x3)　　　　0.(填“>”“<”“≤”“≥”或“=”)  类型4　新定义问题 16.函数f(x)=的图象类似于汉字“囧”,故其被称为“囧函数”,下列说法中正确的个数为(　　) (1)函数f(x)的定义域为{x|x≠1}; (2)f(f(2 023))=-; (3)函数f(x)的图象关于直线x=1对称; (4)当x∈(-1,1)时,函数f(x)的最大值为-1; (5)方程f(x)-x2+4=0有四个不同的实根. A.2 B.3 C.4 D.5 答案 微专题　函数的单调性、奇偶性的综合应用 1.B　因为奇函数f(x)在区间[1,4]上单调递增且最大值是5,所以f(x)在区间[-4,-1]上也单调递增,f(4)=5,所以f(x)在区间[-4,-1]上有最小值f(-4)=-5,故选B. 2.D　记T(x)=af(x)+bx,易知函数y=x是奇函数,又函数y=f(x)是奇函数,∴T(x)为奇函数.∵F(x)=af(x)+bx+2在(0,+∞)上有最大值8,∴T(x)=af(x)+bx在(0,+∞)上有最大值6,∴T(x)=af(x)+bx在(-∞,0)上有最小值-6, ∴F(x)=af(x)+bx+2在(-∞,0)上有最小值-4. 3.答案　2 解：f(x)===+1,令g(x)=f(x)-1=,x∈[-3,3], 则g(-x)=-=-g(x),又[-3,3]关于原点对称,∴函数g(x)为[-3,3]上的奇函数,则g(x)max+g(x)min=0,即M-1+N-1=0,∴M+N=2. 4.解：(1)f(x)是奇函数.证明如下: 易知f(x)=+x的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称, f(-x)=+(-x)=-=-f(x), 所以函数f(x)为奇函数. (2)证明:∀x1,x2∈[1,+∞),且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=+x1-=, 由于1≤x1<x2,故x1x2>1,x1x2-1>0,x1-x2<0, 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 所以f(x)在[1,+∞)上单调递增. (3)由(2)知f(x)在[1,4]上单调递增, 所以f(x)min=f(1)=2,f(x)max=f(4)=, 所以f(x)在[1,4]上的最大值为,最小值为2. 5.D　因为定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,且f(-2)=0, 所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,且f(2)=0, 当x≥0时,x+2≥2,故f(x+2)≥f(2)=0,满足xf(x+2)≥0; 当-2≤x<0时,0≤x+2<2,故f(x+2)<f(2)=0,满足xf(x+2)≥0; 当-4≤x<-2时,-2≤x+2<0,故f(x+2)≤f(-2)=0,满足xf(x+2)≥0; 当x<-4时,x+2<-2,故f(x+2)>f(-2)=0,此时xf(x+2)<0,不合要求. 综上,xf(x+2)≥0的解集为[-4,+∞). 故选D. 6.C　f(x)=x|x|= 则函数f(x)在定义域上为增函数, 因为f(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x), f(x)的定义域关于原点对称,所以函数f(x)为奇函数, 对任意的x≤1有f(x+m)+f(x)<0恒成立等价于对任意的x≤1有f(x+m)<-f(x)=f(-x),即x+m<-x恒成立,则m<-2x恒成立.因为x≤1,所以-2x≥-2,则m<-2,即实数m的取值范围是(-∞,-2). 故选C. 7.AC　因为f(x)(x∈R)是偶函数,且在(-∞,0)上单调递减,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增, 若f(2ax)<f(2x2+1)对任意的x∈R恒成立, 则|2ax|<2x2+1恒成立,即-2x2-1<2ax<2x2+1恒成立, 所以恒成立, 所以4a2-8<0,解得-<a<,即实数a的取值范围是(-,), 故选AC. 8.答案　1; 解：函数f(x)为奇函数,则满足f(-x)=-f(x),f(1)=1-a,f(-1)=-1+1=0, 则由f(-1)=-f(1),得0=a-1,得a=1, 故f(x)=经检验,满足题意. 函数f(x)的大致图象如图: 由图知函数f(x)的单调递减区间为, 又函数f(x)在上单调递减, ∴得-≤m≤0,即实数m的取值范围是. 9.答案　(-∞,-3]∪(0,3] 解：设函数g(x)=xf(x),因为f(x)为奇函数,所以g(x)为偶函数, 因为对于任意x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,都有>0,即>0, 所以g(x)在(0,+∞)上单调递增, 又g(x)为偶函数,g(3)=3f(3)=3,所以g(-3)=3,g(x)在(-∞,0)上单调递减, 当x>0时, f(x)≤等价于g(x)≤3=g(3), 所以0<x≤3; 当x<0时, f(x)≤等价于g(x)≥3=g(-3), 所以x≤-3,故f(x)≤的解集为(-∞,-3]∪(0,3]. 10.解：(1)因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2+3x, 所以当x=0时,f(0)=0, 当x<0时,-x>0,则f(-x)=(-x)2-3x=x2-3x=-f(x),所以f(x)=-x2+3x, 又f(0)=0满足f(x)=x2+3x, 所以f(x)= (2)因为f(x)=所以函数f(x)在R上为增函数, 由f(2a-1)+f(4a-3)>0可得f(4a-3)>-f(2a-1)=f(1-2a), 所以4a-3>1-2a,解得a>,所以实数a的取值范围是. 11. (2)∀x1,x2∈(-1,1),且x1<x2,证明f(x2)<f(x1)即可; (3)利用奇函数的性质,将不等式f(x2+x-1)+f>0转化为f(x2+x-1)>f,从而利用f(x)的单调性和定义域可得关于x的不等式组,解不等式组即可得到答案. 解：(1)证明:对于f(x)+f(y)=f, 取x=y=0,则f(0)+f(0)=f=f(0), ∴f(0)=0. 取y=-x,则f(x)+f(-x)=f=f(0)=0, ∴f(-x)=-f(x). 又函数f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称, ∴函数f(x)为奇函数. (2)证明:∀x1,x2∈(-1,1),且x1<x2, 则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f, 由-1<x1<x2<1,得x2-x1>0,1-x1x2>0, ∴>0. 易知1-==>0, ∴<1,∴0<<1. 由当x∈(0,1)时, f(x)<0,知f<0, ∴f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1), ∴f(x)在(-1,1)上单调递减. (3)∵函数f(x)为奇函数, ∴不等式f(x2+x-1)+f>0等价于f(x2+x-1)>-f=f, 又f(x)在定义域(-1,1)上单调递减, ∴解得0<x<. 故原不等式的解集为. 12.D　∵f(x+8)=f(x),∴f(25)=f(17)=f(9)=f(1),同理f(80)=f(0),∵奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递增,∴f(x)在区间[-2,2]上单调递增,∴f(-1)<f(0)<f(1),即f(-1)<f(80)<f(25). 13.A　因为定义在R上的偶函数f(x),满足f(2+x)=f(2-x), 所以f(2+x)=f(2-x)=f(x-2),所以f(4+x)=f(x),所以f(5)=f(1), 因为f(x)在区间[-2,0]上单调递减,f(x)是偶函数,所以f(x)在区间[0,2]上单调递增, c=f(5)=f(1)<b=f()<a=f(-1.5)=f(1.5).故选A. 14.D　因为f(x)=ax2+b是定义在[a,a+2]上的偶函数, 所以a+a+2=0,解得a=-1, 则函数f(x)的图象开口向下,且f(x)在区间[0,+∞)上单调递减, 又g(x)=f(x-2),所以函数g(x)图象的对称轴为直线x=2,且在[2,+∞)上单调递减, 所以g(2)>g(3)>g(6)=g(-2), 即g(2)>g(3)>g(-2). 故选D. 15.答案　< 解：∵x1+x2>0,x2+x3>0,x3+x1>0, ∴x1>-x2,x2>-x3,x3>-x1. 又函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数和减函数, ∴f(x1)<f(-x2), f(x2)<f(-x3), f(x3)<f(-x1), f(-x1)=-f(x1), f(-x2)=-f(x2), f(-x3)=-f(x3), ∴f(x1)+f(x2)<0, f(x2)+f(x3)<0, f(x3)+f(x1)<0, ∴f(x1)+f(x2)+f(x3)<0. 16.B　对于(1),函数f(x)=的定义域为{x|x≠1且x≠-1},故(1)错误; 对于(2),f(f(2 023))=f ==-,故(2)正确; 对于(3),f(0)=-1,f(2)=1,f(0)≠f(2),故f(x)的图象不关于直线x=1对称,故(3)错误; 对于(4)、(5),f(x)== 作出y=f(x)与y=x2-4的图象如图所示: 易知方程f(x)-x2+4=0有四个不同的根,当x∈(-1,1)时,f(x)max=-1,故(4)、(5)正确,故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $