高一数学必修1集合例题讲解

高一数学必修1集合例题讲解 集合的含义与表示例题讲解 题型一、集合与方程的综合应用 例1. 已知集合 ,若 ,求集合A. 分析:由题意可知集合A是由方程 的实数根构成的,“ ”指的是 是方程 的一个实数根. 解:∵ ∴ 是方程 的一个实数根 ∴ 解之得: ∴原方程为: 解之得: ∴集合 . 例2. 已知集合 . （1）当A中只有一个元素时,求 的值,并求出此元素; （2）当A中有两个元素时,求 满足的条件; （3）当A中至少有一个元素时,求 满足的条件. 分析:集合A为含参方程 的实数根构成的集合.因为方程所含参数为二次项系数,所以该方程可以是关于 的一元一次方程,也可以是一元二次方程,所以在研究该方程的实数根时,要分为两种情况进行讨论. （1）当A中只有一个元素时,说明方程 只有一个实数根,此时 ;或该方程有两个相等的实数根,此时 ; （2）当A中有两个元素时,说明方程 为一元二次方程,此时 ,且方程有两个不相等的实数根; （3）当A中至少有一个元素时,说明方程 只有一个实数根或有两个不相等的实数根,为（1）问和（2）问结果的综合. 解:（1）分为两种情况: ①当 时,原方程为: ,解之得: ∴ ,符合题意; ②当 时,由题意可知方程 有两个相等的实数根 ∴ 解之得: ∴原方程为: 解之得: ∴ . 综上,当 时,集合A只有一个元素 ;当 时,集合A只有一个元素 ; （2）∵A中有两个元素 ∴方程 为一元二次方程,且有两个不相等的实数根 ∴ 解之得: 且 ; （3）∵A中至少有一个元素 ∴A中有一个元素或有两个元素 当A中有一个元素时,由（1）可知: 或 ; 当A中有两个元素时,由（2）可知: 且 . 综上, 满足的条件是 ≥ . 重要结论: 判断形如 的方程的实数根的个数的方法是: （1）当 时,方程可化为 的形式: ①当 时,方程有唯一一个实数根 ; ②当 时,方程有无数个实数根; ③当 时,方程没有实数根; （2）当 时,原方程为关于 的一元二次方程: ①若 ,则方程有两个不相等的实数根; ②若 ,则方程有两个相等的实数根（此种情况下表示方程的实数根组成的集合时,集合只有一个元素）; ③若 ,则方程没有实数根. 例3. 已知 , ,当 时,求集合B. 解:∵ ∴方程 ,即 有两个相等的实数根,且 由根与系数的关系定理可得: 解之得: ∴ 整理得: 解方程