高一函数单调性的判断与证明例题讲解

函数单调性的判断与证明例题讲解 知识准备 一 常见函数的单调性 在确定函数的单调性时,有一种方法是直接法:对于我们所熟悉的基本初等函数,如正比例函数、一次函数、二次函数和反比例函数等,可以直接利用它们的性质来判断函数的单调性. 下表为常见函数的单调性及其单调区间. 函数 单调性 一次函数 当 时,在R上单调递增; 当 时,在R上单调递减. 反比例函数 当 时,在 和 上单调递减; 当 时,在 和 上单调递增. 二次函数 当 时,在 上单调递减,在 上单调递增;当 时,在 上单调递增,在 上单调递减. 补充说明: （1）由单调函数的定义可知,一次函数为在R上的单调函数（单调性由自变量的系数 的符号决定）. （2）在确定二次函数的单调性和单调区间时,常把二次函数的解析式化为顶点式,即化为 的形式,这样: ①当 时,函数 在区间 上为减函数,在区间 上为增函数; ②当 时,函数 在区间 上为增函数,在区间 上为减函数. 二 用定义法证明和判断函数单调性的一般步骤 共分为五步:取值、作差、变形、判号和定论. （1）取值 设 是给定区间上的任意两个值,且 ; （2）作差 计算 ; （3）变形 对 进行有利于判断符号的变形,如因式分解、配方、通分、有理化等; （4）判号 即判断 的符号,当符号不确定时,需要进行分类讨论; （5）定论 根据函数单调性的定义得出结论,即确定函数在给定区间上的单调性. 在以上步骤中,作差是基础,变形是关键,判号是目的. 特别说明 在用定义法判断和证明函数的单调性时,一定要遵循“定义域优先”的原则. 单调性定义的等价形式: （1）函数 在区间 上是增函数: 任取 ,且 ,都有 ; 任取 ,且 , ; 任取 ,且 , ; 任取 ,且 , . （2）函数 在区间 上是减函数: 任取 ,且 ,都有 ; 任取 ,且 , ; 任取 ,且 , ; 任取 ,且 , . 三 单调函数的运算性质 利用单调函数的运算性质,可以方便、快捷地确定某些由几个基本初等函数构成的函数的单调性. 若函数 与 在区间D上具有单调性,则在区间D上具有以下性质: （1） 与 （C为常数）具有相同的单调性. （2） 与 的单调性相反. （3）当 时, 与 具有相同的单调性;当 时, 与 具有相反的单调性. （4）若 ≥0,则 与 具有相同的单调性