1.3全称量词与存在量词-2020-2021学年新高考数学一轮复习讲义

§1.3　全称量词与存在量词 1．全称量词和存在量词 (1)全称量词：“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，用符号“∀”表示． (2)存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，用符号“∃”表示． 2．全称命题、存在性命题及含一个量词的命题的否定 命题名称 语言表示 符号表示 命题的否定 全称命题 对M中任意一个x，有p(x)成立 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，綈p(x) 存在性命题 存在M中的一个x，使p(x)成立 ∃x∈M，p(x) ∀x∈M，綈p(x) 概念方法微思考 1．怎样判断一个存在性命题是真命题？ 提示　要判定存在性命题“∃x∈M，P(x)”，只需在集合M找到一个x，使P(x)成立即可． 2．命题p和綈p可否同时为真，思考一下此结论在解题中的作用？ 提示　命题p和綈p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可判断此命题的否定的真假． 题组一　思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)至少有一个三角形的内角和为π是全称命题．(　×　) (2)“全等三角形的面积相等”是存在性命题．(　×　) (3)写存在性命题的否定时，存在量词变为全称量词．(　√　) 题组二　教材改编 2．命题“∀x∈R，x2＋x＋1>0”的否定是________． 答案　∃x∈R，x2＋x＋1≤0 3．命题“∃x∈N，x2≤0”的否定是________． 答案　∀x∈N，x2>0 4．命题“对于函数f (x)＝x2＋(a∈R)，存在a∈R，使得f (x)是偶函数”为________命题．(填“真”或“假”) 答案　真 解析　当a＝0时，f (x)＝x2(x≠0)为偶函数． 题组三　易错自纠 5．(多选)下列命题的否定中，是全称命题且为真命题的有(　　) A．∃x∈R，x2－x＋<0 B．所有的正方形都是矩形 C．∃x∈R，x2＋2x＋2＝0 D．至少有一个实数x，使x3＋1＝0 答案　AC 解析　由条件可知：原命题为存在性命题且为假命题，所以排除BD；又因为x2－x＋ ＝2≥0，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1>0，所以AC均为存在性命题且为假命题，故选AC. 6．下列命题中的假命题是________．(填序号) ①∃x∈R，lg x＝1； ②∃x∈R，sin