2.2 函数的单调性-2020-2021学年新高考数学一轮复习讲义

§2.2　函数的单调性 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f (x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f (x1)<f (x2)，那么就说函数f (x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f (x1)>f (x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f (x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f (x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f (x)的单调区间． 2．函数的最值 前提 设函数y＝f (x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意的x∈I，都有f (x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M (1)对于任意的x∈I，都有f (x)≥M； (2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 概念方法微思考 1．在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？ 提示　对∀x1，x2∈D，x1≠x2，>0⇔f (x)在D上是增函数；对∀x1，x2∈D，x1≠x2，(x1－x2)·[f (x1)－f (x2)]>0⇔f (x)在D上是增函数．减函数类似． 2．写出函数y＝x＋(a>0)的增区间． 提示　(－∞，－]和[，＋∞)． 题组一　思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若定义在R上的函数f (x)，有f (－1)<f (3)，则函数f (x)在R上为增函数．(　×　) (2)函数y＝f (x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(　×　) (3)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　×　) (4)所有的单调函数都有最大值和最小值．(　×　) 题组二　教材改编 2.如图是函数y＝f (x)，x∈[－4,3]的图象，则下列说法正确的是(　　) A．f (x)在[－4，－1]上是减函数，在[－1,3]上是增函数 B．f (x)在区间(－1,3)上的最大值为3，最小值为－2 C．f (x)在[－4,1]上有最小值－2，有最大值3 D．当直线y＝t与f (x)的图象有三个交点时－1