2.3 函数的奇偶性与周期性-2020-2021学年新高考数学一轮复习讲义

§2.3　函数的奇偶性与周期性 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (－x)＝f (x)，那么函数f (x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (－x)＝－f (x)，那么函数f (x)就叫做奇函数 关于原点对称 2.周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f (x＋T)＝f (x)，那么就称函数y＝f (x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x)的最小正周期． 概念方法微思考 1．如果函数f (x)是奇函数或偶函数，则f (x)的定义域关于原点对称． 2．已知函数f (x)满足下列条件，你能否得到函数f (x)的周期？ (1)f (x＋a)＝－f (x)(a≠0)． (2)f (x＋a)＝(a≠0)． (3)f (x＋a)＝f (x＋b)(a≠b)． 提示　(1)T＝2|a|；(2)T＝2|a|；(3)T＝|a－b|. 3．若f (x)对于定义域中任意x，均有f (x)＝f (2a－x)，或f (a＋x)＝f (a－x)，则函数f (x)关于直线x＝a对称． 题组一　思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．(　×　) (2)如果函数f (x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f (x)＋g(x)是偶函数．(　√　) (3)若函数y＝f (x＋a)是偶函数，则函数y＝f (x)关于直线x＝a对称．(　√　) (4)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(　√　) 题组二　教材改编 2．下列函数中为奇函数的是________．(填序号) ①f (x)＝2x4＋3x2； ②f (x)＝x3－2x； ③f (x)＝； ④f (x)＝x3＋1. 答案　②③ 3．已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f (x)＝x(1＋x)，则f (－1)＝________. 答案　－2 解析　f (1)＝1×2＝2，又f (x)为奇函数， ∴f (－1