2.4 幂函数与二次函数-2020-2021学年新高考数学一轮复习讲义

§2.4　幂函数与二次函数 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 图象 性质 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上单调递增 在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增 在R上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减 公共点 (1,1) 2.二次函数的图象和性质 解析式 f (x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f (x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 R R 值域 单调性 在x∈上单调递减； 在x∈上单调递增 在x∈上单调递增； 在x∈上单调递减 对称性 函数的图象关于直线x＝－对称 概念方法微思考 1．二次函数的解析式有哪些常用形式？ 提示　(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (2)顶点式：y＝a(x－m)2＋n(a≠0)； (3)零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 2．已知f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，写出f (x)≥0恒成立的条件． 提示　a>0且Δ≤0. 3．函数y＝2x2是幂函数吗？ 提示　不是． 题组一　思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，x∈[m，n]的最值一定是.(　×　) (2)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．(　√　) (3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(　√　) (4)二次函数y＝x2＋mx＋1在[1，＋∞)上单调递增的充要条件是m≥－2.(　√　) 题组二　教材改编 2．已知幂函数f (x)＝k·xα的图象过点，则k＋α等于(　　) A. B．1 C. D．2 答案　C 解析　由幂函数的定义，知 ∴k＝1，α＝.∴k＋α＝. 3．已知函数f (x)＝x2＋4