2.11微专题一　分段函数探究-2020-2021学年新高考数学一轮复习讲义

微专题一　分段函数探究 一、分段函数的性质 例1 已知函数f (x)＝是R上的减函数，求a的取值范围． 解　因为函数f (x)＝是R上的减函数， 所以①当x<1时，f (x)＝x2－(4a＋1)x－8a＋4，x<1是减函数，即≥1； ②当x≥1时，f (x)＝logax是减函数，即0<a<1； ③12－(4a＋1)×1－8a＋4≥loga1. 由①②③得 所以≤a≤.即a的取值范围是. 例2 已知f (x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(－∞，0)时，f (x)＝－xlg(2－x)，求函数f (x)的解析式． 解　因为f (x)是R上的奇函数， 所以f (0)＝0. 当x>0时，－x<0，由已知得f (－x)＝xlg(2＋x)， 所以－f (x)＝xlg(2＋x)， 即f (x)＝－xlg(2＋x)(x>0)． 所以f (x)＝ 即f (x)＝－xlg(2＋|x|)(x∈R)． 跟踪训练1 (1)函数y＝－(x－3)|x|的单调增区间是________． 答案　 解析　y＝－(x－3)|x|＝ 作出该函数的图象如图所示， 观察图象知函数的单调增区间为. (2)已知函数f (x)＝是R上的增函数，则实数k的取值范围是________． 答案　 解析　由题意得解得≤k<1. (3)判断g(x)＝的奇偶性． 解　当x>0时，－x<0，g(－x)＝＝＝g(x)， 当x<0时，－x>0，g(－x)＝＝g(x)， 又g(－0)＝g(0)， 所以g(x)＝为偶函数． (4)已知函数f (x)＝若f (2－a2)>f (a)，求实数a的取值范围． 解　当x≥0时，函数f (x)＝x2＋4x在[0，＋∞)上是增函数， 当x<0时，函数f (x)＝－x2＋4x在(－∞，0)上是增函数， 易知连续函数y＝f (x)是定义在R上的增函数， 因为f (2－a2)>f (a)，所以2－a2>a，所以－2<a<1， 所以实数a的取值范围是(－2,1)． 二、分段函数的值域(最值) 例3 已知函数f (x)＝若存在实数t使f (x)的值域是[－1,1]，求实数a的取值范围． 解　由已知得－1<t≤1， 函数f (x)＝在[－1，t]上为增函数， 故其值域为； 函数f (x)＝－2(x－1)2在(1，a]上为减函数， 故其值域为[－2(a－1)2，0)， 所以函数f (x)＝的值域为 [－2(a－