专题3.4 幂函数与二次函数（精讲）-2021年新高考数学一轮复习学与练

专题3.4 幂函数与二次函数 【考纲要求】 1.了解幂函数的概念．掌握幂函数 ，的图象和性质. 2.了解幂函数的变化特征. 3．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象、数据分析等核心数学素养. 【知识清单】 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数. (2)常见的5种幂函数的图象 (3)常见的5种幂函数的性质 函数特征性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x∈R，且x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R，且y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 2．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式： 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n). 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点. (2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减 对称性 函数的图象关于x＝－对称 【考点梳理】 考点一 ：幂函数的概念 【典例1】已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数. 【总结提升】 形如y＝xα的函数叫幂函数，这里需有：(1)系数为1，(2)指数为一常数，(3)后面不加任何项．例如y＝3x、y＝xx＋1、y＝x2＋1均不是幂函数，再者注意与指数函数的区别，例如：y＝x2是幂函数，y＝2x是指数函数． 【变式探究】 有下列函数： ①y＝3x2；②y＝x2＋1； ③y＝－；④y＝； ⑤y＝x；⑥y＝2x. 其中，是幂函数的有__ __(只填序号)． 考点二 ：幂函数的图象 【典例2】（2020·四川省高一期末）若四个幂函数，，，在同一坐标系中的部分图象如图，则、、、的大小关系正确的是（ ） 【典例4】（2019·江西高三期中（文））幂函数的图象经过点，则( ) A． B． C． D． 【规律方法】 1.函数y＝xα的形式的图象都过点(1,1)．它们的单调性要牢记第一象限的图象特征：当α>0时，第一象限图象是上坡递增；当α＜0时，第一象限图象是下坡递减．然后根据函数的奇偶性确定y轴左侧的增减性即可． 2.幂函数y＝xα的形式特点是“幂指数坐在x的肩膀上”，往往利用待定系数法，求幂指数，得到函数解析式，进一步解题. 【变式探究】 1．（2020·广西壮族自治区南宁三中高二月考（文））函数的图像大致是（ ） A． B． C． D． 2．（2020·上海高一课时练习）如图是幂函数的部分图像,已知取这四个值,则于曲线相对应的依次为( ) A． B． C． D． 3．（2020·上海高一课时练习）下列四个结论中，正确的是（ ） A．幂函数的图像过和两点 B．幂函数的图像不可能出现在第四象限 C．当时，是增函数 D．的图像是一条直线 考点三 ：幂函数的性质 【典例5】（2020·四川省高三二模（文））已知点（3，28）在函数f（x）＝xn+1的图象上，设，b＝f（lnπ），，则a，b，c的大小关系为（ ） A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 【典例6】（2020·江苏省高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____. 【典例7】(2018·上海卷)已知α∈.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝ . 【方法技巧】 1.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，既不同底又不同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断．准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键. 2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论底数的不同取值情况. 【变式探究】 1.（2019·湖北高三高考模拟（理））幂函数的图象过点，且，，，则、、的大小关系是（ ） A． B． C． D． 2．（2019·上海高考模拟）设，若为偶函数，则______． 3．（2020·内蒙古自治区集宁一中高二月考（文）） 已知函数是幂函数，且在上单调递增，则实数____