专题11 函数的奇偶性与单调性-2021届江苏省新高考数学大讲坛大一轮复习

专题11 函数的奇偶性与单调性 2021年江苏新高考考点分析 函数的奇偶性是函数的整体性质，是新高考的重要考点，通常与函数的单调性综合考查，难度中等。 2021年江苏新高考考点梳理 1.奇函数，偶函数： ⑴偶函数： 设（）为偶函数上一点，则（）也是图象上一点. 偶函数的判定：两个条件同时满足 ①定义域一定要关于轴对称，例如：在上不是偶函数. ②满足，或，若时，. ⑵奇函数： 设（）为奇函数上一点，则（）也是图象上一点. 奇函数的判定：两个条件同时满足 ①定义域一定要关于原点对称，例如：在上不是奇函数. ②满足，或，若时，. 2.奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数；②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇；③f(-x)/f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数. 3. 函数的周期性 (1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0)． (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a＞0)． (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a＞0)． 4．函数的对称性常见的结论 (1)函数y＝f(x)关于x＝对称⇔f(a＋x)＝f(b－x)⇔f(x)＝f(b＋a－x)． 特殊：函数y＝f(x)关于x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)； 函数y＝f(x)关于x＝0对称⇔f(x)＝f(－x)(即为偶函数)．[来源:学*科*网] (2)函数y＝f(x)关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔f(2a＋x)＋f(－x)＝2b. 特殊：函数y＝f(x)关于点(a,0)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝0⇔f(2a＋x)＋f(－x)＝0； 函数y＝f(x)关于(0,0)对称⇔f(x)＋f(－x)＝0(即为奇函数)． (3)y＝f(x＋a)是偶函数⇔函数y＝f(x)关于直线x＝a对称； y＝f(x＋a)是奇函数⇔函数y＝f(x)关于点(a,0)对称． 5．函数奇偶性常用结论 (1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． (4)y＝f(x＋a)是奇函数，则f(－x＋a)＝－f(x＋a)；y＝f(x＋a)是偶函数，则f(－x＋a)＝f(x＋a)． 名师讲坛考点突破 考点1 函数奇偶性的判断 例1 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝＋； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝ 变式训练1. 函数f(x)＝的图象(　　) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于坐标原点对称 D．关于直线y＝x对称 变式训练2. 下列函数既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A.y＝x3 B.y＝x C.y＝|x| D.y＝|tan x| [来源:学.科.网] 考点2 函数奇偶性与单调性 例2. 设定义在R上的奇函数在区间上是单调减函数，且，则实数x的取值范围是_________ 变式训练3. 定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f ＝0，则满足f(x)>0的x的集合为________． 考点3 函数奇偶性与最值 例3 已知，则在区间上的最大值最小值之和为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 变式训练4. 已知函数的最大值为M，最小值为N，则等于 A.   B. C. 0 D. 1 考点4 函数的奇偶性与周期性 例4 已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　　) A．－50 　B．0 C．2 D．50 变式训练5. 已知函数是定义在R上的奇函数，.若时，，则实数a的值为______. 新高考模拟试题过关测试 1、 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．） 1. 下列函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．y＝ex＋e－x　　　　　 　B．y＝ln(|x|＋1) C．y＝ D．y＝x－ 2. 已知二次函数，若是偶函数，则实数的值