专题07函数的奇偶性与周期性-2021年高考数学（理）考点分析与突破性讲练之集合、函数与导数)

专题07 函数的奇偶性与周期性 一、考点传真： 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义； 2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性； 3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性. 二、知识的梳理： 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 2.函数的周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. [微点提醒] 1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|). 2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. 3.函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0). (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0). (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0). 4.对称性的三个常用结论 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. (2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. (3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称. 三、例题： 例1.（2020年全国卷II）设函数，则f(x)（ ） A. 是偶函数，且在单调递增 B. 是奇函数，且在单调递减 C. 是偶函数，且在单调递增 D. 是奇函数，且在单调递减 例2. （2019全国卷Ⅲ）设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则 A．（log3）＞（）＞（） B．（log3）＞（）＞（） C．（）＞（）＞（log3） D．（）＞（）＞（log3） 例3. （2019全国卷Ⅱ）已知是奇函数，且当时，.若，则__________. 例4.（2019全国卷Ⅰ）函数f(x)=在的图像大致为 A． B． C． D． 例5. (2018全国卷Ⅱ)已知是定义域为的奇函数，满足． 若，则 A． B．0 C．2 D．50 例6. （2017全国卷Ⅰ）函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足 的的取值范围是 A． B． C． D． 四、巩固练习 1．下列函数为奇函数的是(　　) A．y＝　　　　　　　　　 B．y＝|sin x| C．y＝cos x D．y＝ex－e－x 2．设f(x)－x2＝g(x)，x∈R，若函数f(x)为偶函数，则g(x)的解析式可以为(　　) A．g(x)＝x3 B．g(x)＝cos x C．g(x)＝1＋x D．g(x)＝xex 3．(2019·三明模拟)函数y＝f(x)是R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝2x，则当x>0时，f(x)＝(　　) A．－2x B．2－x C．－2－x D．2x 4．函数f(x)＝的图象关于(　　) A．x轴对称 B．原点对称 C．y轴对称 D．直线y＝x对称 5．(2019·石家庄高三一检)已知函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)单调递增，且f(1)＝0，若f(x－1)>0，则x的取值范围为(　　) A．{x|0<x<1或x>2} B．{x|x<0或x>2} C．{x|x<0或x>3} D．{x|x<－1或x>1} 6．对于定义域为R的奇函数f(x)，下列结论成立的是(　　) A．f(x)－f(－x)>0 B．f(x)－f(－x)≤0 C．f(x)·f(－x)≤0 D．f(x)·f(－x)>0 7．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝(　　) A．－2 B．2 C．－98 D．98 8．若函数f(x)为偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，又f(3)＝0，则<0的解集为(　　) A．(－3,3) B．(－∞，－3)∪(3，＋∞) C．(－3,0)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0,3) 9.(2019·会宁联考)已知函数f(x)的定义域为R，且在[0，＋∞)上是增函数，g(x)＝－f(|x|)，若g