专题2—2.2函数的单调性与最值-2020-2021学年高二数学暑假课程复习讲义（补基础）

学生 年级 科目 次数 教师 日期 时段 课题 函数的单调性与最值 本堂课目标 1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义； 2.难点:1）求函数的单调区间；2）利用函数的单调性求函数最大(最小)值. 教 学 步 骤 及 教 学 内 容 函数y=x的图象从左向右看是上升的；函数y=x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的；函数y=-x2的图象在y轴左侧是上升的，在y轴右侧是下降的. 引导描述 (增函数、减函数)．同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质． 问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数? 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间. 问题2：下图是函数 的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗？ 难以确定分界点的确切位置，函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究． 问题3：如何从解析式的角度说明 在 为增函数？ (1) 在给定区间内取两个数，例如1和2，因为12<22,所以 在 为增函数． (2) 仿(1)，取很多组验证均满足，所以 在 为增函数． (3) 任取 ,因为 ,即 ，所以 在 为增函数． 对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量 ． 【练习】判断题： 1. ．（ ） 2.若函数 ．（ ） 3.若函数 在区间 和(2,3)上均为增函数，则函数 在区间(1,3)上为增函数．（ ） 4.因为函数 在区间 上都是减函数，所以 在 上是减函数.（ ） 答案：1.错误，单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． 2.错误，对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)． 3.错误，函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在 上是增（或减）函数． 思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数? 考点一　确定函数的单调性(区间) 【例1】 (1))若函数y＝ 在区间(2，＋∞)上是减函数，则a的取值范围为(　　) A.(－∞，－4)∪[2，＋∞) B.(－4，4] C.[－4，4) D.[－4，4] (2)判断并证明函数f(x)＝ax2＋(其中1<a<3)在x∈[1，2]上的单调性. 【解析】1.令t＝x2－ax＋3a，则y＝logt(t>0)， 易知t＝x2－ax＋3a在上单调递减， 在上单调递增. ∵y＝log(x2－ax＋3a)在区间(2，＋∞)上是减函数， ∴t＝x2－ax＋3a在(2，＋∞)上是增函数，且在(2，＋∞)上t>0， ∴2≥，且4－2a＋3a≥0，∴a∈[－4，4]. 答案　D 2.f(x)在[1，2]上单调递增，证明如下： 设1≤x1<x2≤2，则f(x2)－f(x1)＝ ＝ ， 由1≤x1<x2≤2，得x2－x1>0，2<x1＋x2<4， 1<x1x2<4，－1<－ <－. 又因为1<a<3，所以2<a(x1＋x2)<12， 得a(x1＋x2)－ >0， 从而f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)， 故当a∈(1，3)时，f(x)在[1，2]上单调递增. 规律方法　 1.(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例1(1). (2)单调区间不能用集合或不等式表达，且图象不连续的单调区间要用“和”“，”连接. 2.(1)函数单调性的判断方法有：①定义法；②图象法；③复合函数法；④导数法.也可利用单调函数的和差确定单调性. (2)利用定义证明或判断函数单调性的步骤： (1)取值；(2)作差；(3)定号；(4)判断. (3)函数y＝f[g(x)]的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 3.函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝（