考点04 函数的单调性与奇偶性-2021年新高考数学一轮复习考点扫描

考点4 函数的单调性与奇偶性 【考点剖析】 一．最新考试说明： 1．理解函数的单调性，会讨论和证明函数的单调性． 【2020年高考全国Ⅱ卷理数9】设函数 ，则 （ ） A．是偶函数，且在 单调递增 B．是奇函数，且在 单调递减 C．是偶函数，且在 单调递增 D．是奇函数，且在 单调递减 【2020年高考全国Ⅰ卷理数12】若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【2020年高考全国Ⅱ卷文数12理数11】若 ，则 （ ） A． B． C． D． 2．理解函数的奇偶性，会判断函数的奇偶性． 【2020年高考全国Ⅱ卷文数10】设函数 ，则 （ ） A．是奇函数，且在 单调递增 B．是奇函数，且在 单调递减 C．是偶函数，且在 单调递增 D．是偶函数，且在 单调递减 【2018年高考全国Ⅱ卷理数】函数的图像大致为 【2020年福建高三模拟】下列函数为奇函数的是 A． B． C． D． 3．利用函数奇偶性求函数值及求参数值． 【2020年高考江苏卷7】已知是奇函数，当时，，则的值是 ． 【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知是奇函数，且当时，.若，则__________． 【2015新课标Ⅰ】若函数为偶函数，则= 【2012安徽】若函数的单调递增区间是 ，则 =________． 二．命题方向预测： 1．利用函数的单调性求单调区间、比较大小、解不等式、求变量的取值是历年高考考查的热点． 2．函数的奇偶性是高考考查的热点． 3．函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象特点解决相关问题、利用函数奇偶性求函数值及求参数值等问题是重点，也是难点． 4．题型以选择题和填空题为主，函数性质与其它知识点交汇命题． 三．课本结论总结： 1．奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反． 注意：确定函数的奇偶性，务必先判定函数定义域是否关于原点对称．确定函数奇偶性的常用方法有：定义法、图像法、性质法等．　 2．若奇函数定义域中有0，则必有．即的定义域时，是为奇函数的必要非充分条件． 对于偶函数而言有：． 3．确定函数的单调性或单调区间，在解答题中常用：定义法（取值、作差、鉴定）、导数法；在选择、填空题中还有：数形结合法(图像法)、特殊值法等等． 4．若函数的定义域关于原点对称，则可以表示为，该式的特点是：右端为一个奇函数和一个偶函数的和． 5．既奇又偶函数有无穷多个（，定义域是关于原点对称的任意一个数集）． 6．复合函数的单调性特点是：“同增异减”；复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”．复合函数要考虑定义域的变化（即复合有意义）． 7．函数与函数的图像关于直线（轴）对称． 8．函数与函数的图像关于直线（轴）对称． 9．函数与函数的图像关于坐标原点中心对称． 10．函数与函数的图像关于直线对称． 四、名师二级结论： 一个防范 函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数分别在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，不能用“∪”连接． 一条规律 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件． 注意：分段函数判断奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性． 两个应用 1．已知函数的奇偶性求函数的解析式． 抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于f(x)的方程，从而可得f(x)的解析式． 2．已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数． 常常采用待定系数法：利用f(x)±f(－x)＝0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值． 三种方法 判断函数单调性的三种方法方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)导数法． 判断函数的奇偶性的三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)性质法． 在判断函数是否具有奇偶性时，为了便于判断，有时需要将函数进行化简，或应用定义的变通形式： f(－x)＝±f(x) f(－x)±f(x)＝0＝±1，f(x)≠0． 五、课本经典习题： (1)新课标人教A版必修一第36页练习第1（3）题 判断下列函数的奇偶性：． 【经典理由】典型的巩固定义题，可以进行多角度变式． (2)新课标人教A版必修一第44页复习参考题A组第八题 设，求证：（1）；（2）． 【经典理由】典型的巩固定义题，可以进行改编、变式或拓展． (3)新课标人教A版必修一第83页复习参考题B组第3题 对于函数．（1）探索函数的单调性；（2）是否存在实数a使为奇函数