考点06 二次函数与幂函数-2021年新高考数学一轮复习考点扫描

考点6 二次函数与幂函数 【考点剖析】 1.最新考试说明： 1.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质，能解决与二次函数性质有关的问题. 【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设函数的定义域为R，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是 A． B． C． D． 【2017浙江】若函数在区间[0，1]上的最大值是，最小值是，则 A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关 C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关 2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x ， 的图象，了解它们的变化情况． 【2020年高考上海卷11】已知 ，若存在定义域为 的函数 同时满足下列两个条件，①对任意 ， 的值为 或 ；②关于 的方程 无实数解；则 的取值范围为 ． 【2020年高考江苏卷7】已知 是奇函数，当 时， ，则 的值是 ． 2.命题方向预测： 1.关于幂函数常以5种幂函数为载体，考查幂函数的概念、图象与性质，多以小题形式出现，属容易题． 2.二次函数的图象及性质是近几年高考的热点；用三个“二次”间的联系解决问题是重点，也是难点． 3.题型以选择题和填空题为主，若与其他知识点交汇，则以解答题的形式出现. 3.课本结论总结： 二次函数与幂函数 1．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． ②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． ③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． (2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 单调性 在x∈ 上单调递减；在x∈ 上单调递增 在x∈ 上单调递减在x∈ 上单调递增 对称性 函数的图象关于x＝ 对称 2.幂函数 (1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)幂函数的图象比较 (3)幂函数的性质比较 特征 函数 性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x∈R且x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R且y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 增 x∈[0，＋∞)时，增；x∈(－∞，0]时，减 增 增 x∈(0，＋∞) 时，减；x∈(－∞，0)时，减 4.名师二级结论： （1）二次函数图象对称轴的判断方法 (i)二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(x1)＝f(x2)，那么函数y＝f(x)的图象关于x＝对称。 (ii)二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立的充要条件是函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称(a为常数)。 (2幂函数y＝xα在第一象限的图象特征 (i)α>1时，图象过(0,0)，(1,1)，下凸递增，例如y＝x3。 (ii)0<α<1时，图象过(0,0)，(1,1)，上凸递增，例如y＝x。 (iii)α<0时，图象过(1,1)，下凸递减，且以两条坐标轴为渐近线，例如y＝x－1。 (3)一元二次不等式恒成立的条件 (i)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是 (ii)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是 5.课本经典习题： (1)新课标A版第 70 页，B组第 2 题 指数函数 的图象如图所示，求二次函数 的顶点的横坐标的取值范围． 【解析】由图可知指数函数 是减函数，所以 ．而二次函数 的顶点的横坐标为 ，所以 ，即二次函数 的顶点的横坐标的取值范围是 ． 【经典理由】有效把指数函数和二次函数相结合 (2)新课标A版第 822 页，A组第10题 已知幂函数 EMBED Equation.DSMT4 ，试求出此函数的解析式，并作出图像，判断奇偶性、单调性． 【分析】根据幂函数的概念设 ，将点的坐标代入即可求得n值，从而求得函数解析式．要判断函数的奇偶性我们可以根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，判断函数图象在（0，+∞）的单调性，进而画出函数的图象． 【解析】设 ,因为幂函数 EMBED Equation.DSMT4 , ， 这个函数解析式为 ．定义域为（0，+∞），它不关于原点对称，所以，y=f（x）是非奇非偶函数． 当x＞0时，f（x）是单调减函数，函数的图象如图． 【经典理由】本题通过待定系数法求幂函数解析式、解指数方程的解法、奇（偶）函数性、幂函数图象考查学生对幂函数有关知识