专题3.1 函数的概念及其表示（精讲）-2021年新高考数学一轮复习学与练

专题3.1 函数的概念及其表示 【考纲要求】 1．了解函数的概念，会求简单的函数的定义域和值域. 2．理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法. 3．了解简单的分段函数，会用分段函数解决简单的问题. 4.本节涉及所有的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等. 【知识清单】 1．函数的概念 函数 两个集合 A，B 设A，B是两个 非空数集 对应关系 f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 2．函数的定义域、值域 (1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数. 3.函数的表示方法 （1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，这种表示方法叫做解析法，这个数学表达式叫做函数的解析式 （2）图象法：以自变量x的取值为横坐标，对应的函数值y为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各个点，这些点构成了函数y＝f(x)的图象，这种用__图象__表示两个变量之间对应关系的方法叫做图象法 （3）列表法：列一个两行多列的表格，第一行是自变量的取值，第二行是对应的函数值，这种列出__表格__来表示两个变量之间对应关系的方法叫做列表法 4．分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数. (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数. 【考点梳理】 考点一 函数的概念 【典例1】（2020·洪洞县第一中学高三期中（文））下面各组函数中是同一函数的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【典例2】如图所示，能够作为函数y＝f(x)的图象的有____. 【规律方法】 1．判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A，B必须是非空数集；A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应． 2．函数的定义中“任一x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”． 3.函数的三要素中，若定义域和对应关系相同，则值域一定相同．因此判断两个函数是否相同，只需判断定义域、对应关系是否分别相同． 【变式探究】 1.，则与表示同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2.（2018届江西省检测考试（二））设，，函数的定义域为，值域为，则的图象可以是（ ） A. B. C. D. 【易混辨析】 1.判断两个函数是否为相同函数，注意把握两点，一看定义域是否相等，二看对应法则是否相同． 2.从图象看，直线x=a与图象最多有一个交点. 考点二：求函数的定义域 【典例3】（2020·北京高考真题）函数的定义域是____________． 【典例4】（2020·河南省郑州一中高二期中（文））已知函数定义域是 ，则的定义域是（ ） A．[0,] B． C． D． 【典例5】（2019·邵阳市第十一中学高一期中）已知函数的定义域是,则函数的定义域是( ) A. B. C. D.无法确定 【规律方法】 1.已知函数的具体解析式求定义域的方法 (1)若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集． (2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可． 2．抽象函数的定义域的求法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出． (2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域． 【变式探究】 1.（2019·山东省章丘四中高三月考）函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 2．（2020·福建省福州第一中学高三）已知函数的定义域为[0，2]，则的定义域为（ ） A． B． C． D． 【特别提醒】 求函数的定义域： (1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0. (2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部