专题3.2 函数的单调性与最值（精讲）-2021年新高考数学一轮复习学与练

专题3.2 函数的单调性与最值 【考纲要求】 1．理解函数的单调性，会判断函数的单调性. 2．理解函数的最大（小）值的含义，会求函数的最大（小）值. 3.培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等数学核心素养. 【知识清单】 1. 增函数、减函数 （1）.增函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数； （2）减函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有 ，那么就说函数在区间上是减函数. 2．函数的单调性 (1)定义：如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间D上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间. (2)图象特征：函数y＝f(x)在区间D上具有单调性，则函数y＝f(x)在区间D上的图象是上升的或下降的． 2．函数的最值 1.最大值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足： （1）对于任意的，都有； （2）存在，使得. 那么，我们称是函数的最大值. 2.最小值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足： （1）对于任意的，都有； （2）存在，使得. 那么，我们称是函数的最小值. 【考点梳理】 考点一 单调性的判定和证明 【典例1】1.（2019·北京高考真题（文））下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是（ ） A． B．y= C． D． 【典例2】用单调性定义证明函数f(x)＝2x2＋4x在(－∞，－1]上是单调减函数． 【规律方法】 掌握确定函数单调性(区间)的4种常用方法 (1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论．其关键是作差变形，为了便于判断差的符号，通常将差变成因式连乘(除)或平方和的形式，再结合变量的范围、假定的两个自变量的大小关系及不等式的性质进行判断． (2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的直观性确定它的单调性． （3）熟悉一些常见的基本初等函数的单调性. （4）导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调性． 【变式探究】 1.（2020·西藏自治区高三二模（文））下列函数中，在区间上为减函数的是（ ） A． B． C． D． 2．（2019·贵州高三高考模拟（文））关于函数的下列结论，错误的是（ ） A．图像关于对称 B．最小值为 C．图像关于点对称 D．在上单调递减 考点二：求函数的单调区间 【典例3】（2017课标II）函数 的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【典例4】（2019·山东省高三学业考试）已知函数 （Ⅰ）画出函数的大致图象； （Ⅱ）写出函数的最大值和单调递减区间 【规律方法】 确定函数的单调区间常见方法： 1.利用基本初等函数的单调区间 2.图象法：对于基本初等函数及其函数的变形函数，可以作出函数图象求出函数的单调区间. 3.复合函数法：对于函数，可设内层函数为，外层函数为，可以利用复合函数法来进行求解，遵循“同增异减”，即内层函数与外层函数在区间D上的单调性相同，则函数在区间D上单调递增；内层函数与外层函数在区间D上的单调性相反，则函数在区间D上单调递减. 4.导数法：不等式的解集与函数的定义域的交集即为函数的单调递增区间，不等式的解集与函数的定义域的交集即为函数的单调递减区间. 【变式探究】 1．（2020·上海高三专题练习）设函数在内有定义，对于给定的正数K，定义函数 取函数．当=时，函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 2. （2019届四川省成都市第七中学）函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【特别警示】 1.单调区间必须是一个区间，不能是两个区间的并，如不能写成函数y＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数，而只能写成在(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数． 2.区间端点的写法；对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调问题，因此写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但对于某些点无意义时，单调区间就不包括这些点． 考点三：利用单调性比较大小 【典例5】（2020·四川省高三其他（理））已知在上是减函数，若，，，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【方法总结】 先判断出函数的单调性，然后判断之间的大小关系，利用单调性比较出之间的大小关系.一般地，比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解． 【变式探究】 （2019·江苏扬州中学高考模拟）设，，则比较的大小关系_______. 考点四：利用单调