专题3.3 函数的奇偶性与周期性（精讲）-2021年新高考数学一轮复习学与练

专题3.3 函数的奇偶性与周期性 【考纲要求】 1．理解函数的奇偶性，会判断函数的奇偶性，了解函数的周期性. 2．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象等核心数学素养. 【知识清单】 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 2．函数的周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 3. 函数的奇偶性与单调性： 在关于原点对称的区间上，函数的单调性满足“奇同偶反”. 【考点梳理】 考点一 ：函数奇偶性的判断 【典例1】（2020·全国高考真题（文））设函数,则（ ） A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减 【典例2】（广东省高考真题（理））设函数和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 A．+|g(x)|是偶函数 B．-|g(x)|是奇函数 C．|| +g(x)是偶函数 D．||- g(x)是奇函数 【知识拓展】 (1)奇、偶函数定义域的特点． 由于f(x)和f(－x)须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称．这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)奇、偶函数的对应关系的特点． ①奇函数有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔＝－1(f(x)≠0)； ②偶函数有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔＝1(f(x)≠0)． (3)函数奇偶性的三个关注点． ①若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数； ②既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空集合； ③函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数． (4)奇、偶函数图象对称性的应用． ①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数； ②若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数． 【变式探究】 1.（2019·天津耀华中学高三月考）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） A． B． C． D． 2.（2020·首都师范大学附属中学高三其他）已知函数，则函数的奇偶性为（ ） A．既是奇函数也是偶函数 B．既不是奇函数也不是偶函数 C．是奇函数不是偶函数 D．是偶函数不是奇函数 考点二：函数奇偶性的应用 【典例3】（2020·海南省高考真题）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【典例4】（2019·天津南开中学高考模拟（文））已知是定义域为[a，a+1]的偶函数，则＝（ ） A． B． C． D． 【典例5】（2020·四川省泸县五中高三月考（文））已知是奇函数，且当时，.若，则__________. 【总结提升】 函数奇偶性的应用 (1)求函数解析式 ①将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；②将转化后的自变量代入已知解析式；③利用函数的奇偶性求出解析式． (2)求参数值 在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法． 【变式探究】 1.（2019·江西江西师大附中高三高考模拟（文））若函数为奇函数，则实数的值为（　　） A． B． C． D． 2.（2019·全国高考真题（文））设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=， 则当x<0时，f(x)= （ ） A． B． C． D． 【特别提醒】 利用函数奇偶性求函数解析式的关键是利用奇偶函数的关系式f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)成立，但要注意求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x(另一个已知区间上的解析式中的变量)，通过适当推导，求得所求区间上的解析式． 3．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(