专题2.2 基本不等式及其应用（精讲）-2021年新高考数学一轮复习学与练

专题2.2 基本不等式及其应用 【考纲要求】 1. 掌握基本不等式 (a，b＞0)及其应用. 2．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理等核心数学素养. 3.高考命题中除单独考查外，较多的是在考查其它主干知识的同时，考查基本不等式的应用. 【知识清单】 1．重要不等式 当a、b是任意实数时，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立． 2．基本不等式 当a>0，b>0时有，当且仅当a=b时，等号成立． 3．基本不等式与最值 已知x、y都是正数． (1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值． (2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值． 4.常用推论 （1）（） （2）（，）； （3） 【考点梳理】 考点一 ：利用基本不等式证明不等式 【典例1】（2020·海南省高考真题）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ） A． B． C． D． 【典例2】（2020·全国高考真题（文））设a，b，cR，a+b+c=0，abc=1． （1）证明：ab+bc+ca<0； （2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥． 【方法技巧】 1.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等． 2.证明不等式时，要注意观察分析其结构特征选取相应的证明方法．若不等式中字母具有轮换对称关系，则常常连用几个形式相同字母不同的不等式迭加获证． 【变式探究】 1. 已知、、都是正数，求证： 2.求证: 考点二：利用基本不等式求最值 【典例3】（2020·天津高考真题）已知，且，则的最小值为_________． 【典例4】（2019年高考天津卷文）设，则的最小值为__________. 【规律方法】 利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等” （1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法 （2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量. （3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点： ① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突） ② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围. 注意：形如的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解． 【变式探究】 1.（陕西省2019年高三第三次教学质量检测）若正数满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D．3 2.设当________时，取到最小值． 【总结提升】 1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略，拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题： (1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形； (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 2．若条件式是ax＋by＝c(a，b，c都是正常数)，常常进行常数代换(或乘除常数)．如x＋y＝1(x>0，y>0)求＋的最值时，可以将1＝x＋y,2＝2(x＋y)代入，也可以变形＋＝(＋)·1＝(＋)·(xy)．两种方法本质相同，若已知条件为2x＋y＝3(x>0，y>0)，求＋的最值时，可利用＋＝(＋)(2x＋y)变形． 3．求二元函数最值时，可以用代入消元法转化，但要注意根据被代换的变量的范围，对保留下的变量的范围加以限制． 考点三：基本不等式的实际应用 【典例5】（2017·江苏高考真题）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则的值是 . 【规律方法】 1.用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： (1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案. 2.利用基本不等式求解实际应用题注意点： (1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解． (2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解． 【易错警示】忽视不等式等号成立的条件！ 【变式探究】如图