专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（精讲）-2021年新高考数学一轮复习学与练

专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 【考纲要求】 1.一元二次不等式： (1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. (2)通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. (3)会解一元二次不等式. 2.结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数. 3．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象等核心数学素养. 【知识清单】 1．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式： 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n). 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点. (2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减 对称性 函数的图象关于x＝－对称 2.一元二次不等式的概念及形式 (1)概念：我们把只含有一个未知数，并且知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． (2)形式： ①ax2＋bx＋c>0(a≠0)； ②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)； ③ax2＋bx＋c<0(a≠0)； ④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)． (3)一元二次不等式的解集的概念： 一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集. 3.三个“二次”之间的关系 （1）关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)或ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集； 若二次函数为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则一元二次不等式f(x)>0或f(x)<0的解集，就是分别使二次函数f(x)的函数值为正值或负值时自变量x的取值的集合． （2）三个“二次”之间的关系： 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac 判别式Δ ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 解不等式 f(x)>0 或f(x)< 0的步骤 求方程f(x)＝0的解 有两个不等的实数解x1，x2 有两个相等的实数解x1＝x2 没有实数解 画函数y＝f(x)的示意图 得不 等式 的解 集 f(x)>0 __{x|x<x1 或x>x2}__ {x|x≠－} R f(x)<0 __{x|x1<x<x2}__ __∅__ __∅__ 3.不等式恒成立问题 　 1．一元二次不等式恒成立问题 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足. 2．含参数的一元二次不等式恒成立．若能够分离参数成k<f(x)或k>f(x)形式．则可以转化为函数值域求解． 设f(x)的最大值为M，最小值为m. (1)k<f(x)恒成立⇔k<m，k≤f(x)恒成立⇔k≤m. (2)k>f(x)恒成立⇔k>M，k≥f(x)恒成立⇔k≥M. 【考点梳理】 考点一 ：二次函数的解析式 【典例1】（2019·黑龙江省哈尔滨三中高三其他（理））已知二次函数满足且. （1）求的解析式； （2）当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【规律方法】 根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下： 【变式探究】 1.已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式． 2.（2019·陕西省咸阳市实验中学高一月考）已知二次函数满足：任意的，有成立，且最小值为，与轴交点坐标为 （1）求的解析式； （2）是否存在实数，使的定义域和值域分别为和，如果存在，求出；如果不存在，请说明理由. 考点二：二次函数图象的识别 【典例2】（2020·山东省微山县第一中学高一月考）对数函数且与二次函数在同一坐标系内的图像不可能是（ ） A． B． C． D． 【总结提升】 识别二次函数图象应学会“三看” 【变式训练】（2019·辽宁高考模拟（理））函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 考点三：二次函数的单调性问题 【典例3】（2020·山东省微山县第一中学高一月考）已知函数. （1）若函数在区间上具有单调性，求实数的取值范围; （2）