第22章 重点突破训练：与二次函数有关的纯数学问题-简单数学之2020-2021学年九年级上册同步讲练（人教版）

第22章 重点突破训练：与二次函数有关的纯数学问题 考点体系 考点1：二次函数与面积问题 典例：（2020·甘肃省中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且，点是第三象限内抛物线上的一动点． （1）求此抛物线的表达式； （2）若，求点的坐标； （3）连接，求面积的最大值及此时点的坐标． 方法或规律点拨 本题考查了二次函数的综合问题，二次函数的性质，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数和一次函数的性质进行解题，注意利用数形结合的思想进行解题． 巩固练习 1．（2020·内蒙古自治区初三期末）如图,已知直线y=-2x+3与抛物线y=x2相交于A,B两点,O为坐标原点. (1)求点A和B的坐标； (2)连结OA,OB,求△OAB的面积. 2．（2020·广西壮族自治区初三其他）已知，如图，抛物线的顶点为，经过抛物线上的两点和的直线交抛物线的对称轴于点． （1）求抛物线的解析式和直线的解析式． （2）在抛物线上两点之间的部分（不包含两点），是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若点在抛物线上，点在轴上，当以点为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点的坐标． 3．（2020·安徽省初三月考）已知，如图，抛物线经过点和. （1）求此抛物线和直线AB的函数表达式； （2）点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作于点D.动点P在什么位置时，的面积最大？求出面积的最大值，并求出此时点P的坐标. 4．（2020·张家界市民族中学初三月考）如图，已知抛物线经过A（－3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值； （3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（ E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S． ①求S与m的函数关系式； ②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标； 若不存在，请说明理由． 考点2：二次函数与平行四边形 典例：（2020·眉山市东坡区苏辙中学初三其他）如图所示，平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3交坐标轴与B、C两点，抛物线y＝ax2+bx+3经过B、C两点，且交x轴于另一点A（﹣1，0）．点D为抛物线在第一象限内的一点，过点D作DQ∥CO，DQ交BC于点P，交x轴于点Q． （1）求抛物线解析式； （2）设点P的横坐标为m，在点D的移动过程中，存在∠DCP＝∠DPC，求出m值； （3）在抛物线取点E，在坐标系内取点F，问是否存在以C、B、E、F为顶点且以CB为边的矩形？如果有请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由． 方法或规律点拨 本题考查了等腰三角形的性质，矩形的性质，待定系数法求函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，二次函数的图像与性质，以及分类讨论的数学思想，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 巩固练习 1．（2020·广西壮族自治区中考真题）已知抛物线与x轴交于点A，B两点（A在B的左侧）与y轴交于点C． （1）直接写出点A，B，C的坐标； （2）将抛物线经过向下平移，使得到的抛物线与x轴交于B， 两点（在B的右侧），顶点D的对应点，若，求的坐标和抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，若点Q在x轴上，则在抛物线或上是否存在点P，使以为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 2．（2020·内蒙古自治区初三期末）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(-2，0)，OB=OA，且∠AOB=120°． (1)求经过A、O、B三点的抛物线的解析式； (2)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△OBC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点M为抛物线上一点，点N为对称轴上一点，是否存在点M、N使得A、O、M、N构成的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2020·辽宁省初三其他）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点，交轴于点，且、． （1）求该抛物线的表达式及顶点的坐标； （2）若点是轴上的一个动点，设的面积为，动点的坐标为，令，当时，是否有最小值？若有，请求出的最小值和此时的值；若没有，请说明理由； （3）在抛物线上有一个动点，轴上有一个动点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 4．（2020·甘肃省中考真题）如图所示，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且点的坐标为，点的坐标为，对称轴为直线.点是抛物线上一个