专题01 数学思想在二次根式中的应用-2020-2021学年九年级数学上册知识点讲解练（华师大版）

专题01 数学思想在二次根式中的应用 类型一类比思想 【专题解读】类比是根据两个对象之间在某些方面的相同或相似，从而推出它们在其他方面也可能相同或相似.类比思想是初中重要的数学思想，数学中的许多定理、公式和法则是通过类比得到的.在本章中类比同类项的概念，得到同类二次根式的概念，也可以类比合并同类项去合并同类二次根式. 例1 计算. （1）； （2）. 针对练习： 1. 计算：（1）|2|； （1）52； （3）44 . 类型二 整体思想 【专题解读】整体思想就是在数学问题中，对于有的问题可以从整体的角度思考，即将局部放在整体中去观察分析、探究问题的解决方法，从而使问题得以间接巧妙地解决.二次根式的整体代入出现在二次根式的计算中，只要熟悉平方差公式及合并同类二次根式的方法，就能顺利解决这类问题. 例2 ，求的值. 【思路点拨】将已知条件两边平方得出的值，并用含的代数式表示，最后将视为一个整体代入求值即可. 针对练习： 2. 已知，求x2y+xy2的值． 3. 已知m，n，求代数式m2+mn+n2的值 4.已知a+b＝﹣8，ab＝12．求的值． 类型三 分类讨论思想 【专题解读】当遇到某些数学问题存在多种情况时，应进行分类讨论.本章在运用公式进行化简时，若字母的取值范围不确定，则进行分类讨论. 例3若化简的结果为，则的取值范围是（ ） A.为任意实数 B.1≤≤4 C.≥1 D.≤4 针对练习： 5.已知a，b为等腰△ABC的两边，且满足，则△ABC的周长为 ． 6.化简． 【解析指南】根据二次根式的性质把原式变形，分x＜﹣3、﹣3≤x≤1、1＜x≤2、x＞2四种情况，根据绝对值的性质计算即可． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 $$ 专题01 数学思想在二次根式中的应用 类型一类比思想 【专题解读】类比是根据两个对象之间在某些方面的相同或相似，从而推出它们在其他方面也可能相同或相似.类比思想是初中重要的数学思想，数学中的许多定理、公式和法则是通过类比得到的.在本章中类比同类项的概念，得到同类二次根式的概念，也可以类比合并同类项去合并同类二次根式. 例1 计算. （1）； （2）. 解：（1）原式＝＝. （2）原式＝＝. 针对练习： 1. 计算：（1）|2|； （1）52； （3）44 . 解：（1）原式2＝2； （2）原式＝526； （3）原式＝4324＝72． 类型二 整体思想 【专题解读】整体思想就是在数学问题中，对于有的问题可以从整体的角度思考，即将局部放在整体中去观察分析、探究问题的解决方法，从而使问题得以间接巧妙地解决.二次根式的整体代入出现在二次根式的计算中，只要熟悉平方差公式及合并同类二次根式的方法，就能顺利解决这类问题. 例2 ，求的值. 【思路点拨】将已知条件两边平方得出的值，并用含的代数式表示，最后将视为一个整体代入求值即可. 解：∵，∴，∴＝6， ∴＝＝＝＝. 针对练习： 2. 已知，求x2y+xy2的值． 解：由题意，知：x+y＝6，xy＝1；∴原式＝xy（x+y）＝6． 3. 已知m，n，求代数式m2+mn+n2的值 解：当m，n时， m2+mn+n2＝（m+n）2﹣mn ＝（）2﹣（）×（） ＝（2）2﹣[（）2﹣（）2] ＝12﹣（3﹣2） ＝11． 4.已知a+b＝﹣8，ab＝12．求的值． 解：∵（）22 ；∴原式． 类型三 分类讨论思想 【专题解读】当遇到某些数学问题存在多种情况时，应进行分类讨论.本章在运用公式进行化简时，若字母的取值范围不确定，则进行分类讨论. 例3若化简的结果为，则的取值范围是（ B ） A.为任意实数 B.1≤≤4 C.≥1 D.≤4 B【解析】由题意可知＝，由此通过讨论各种情况可知只有＝，且＝时，满足条件，故由绝对值的意义可知≥0，且≥0，所以1≤≤4，即的取值范围是1≤≤4.故选B. 针对练习： 5.已知a，b为等腰△ABC的两边，且满足，则△ABC的周长为 13或14 ． 6.化简． 【解析指南】根据二次根式的性质把原式变形，分x＜﹣3、﹣3≤x≤1、1＜x≤2、x＞2四种情况，根据绝对值的性质计算即可． 解：原式|x+3|+|x﹣1|+|x﹣2|， 当x＜﹣3时，原式＝﹣（x+3）﹣（x﹣1）+（x﹣2）＝﹣x﹣4， 当﹣3≤x≤1时，原式＝（x+3）﹣（x﹣1）+（x﹣2）＝﹣x+2， 当1＜x≤2时，原式＝（x+3）+（x﹣1）+（x﹣2）＝3x， 当x＞2时，原式＝（x+3）+（x﹣1）﹣（x﹣2）＝x+4． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 $$