专题2.2 函数的单调性与最值（精讲）-2021届高考数学（文）一轮复习讲练测

【核心素养分析】 1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义． 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. 3.培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象能力。 【重点知识梳理】 知识点一 函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 知识点二 函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 【特别提醒】 1.函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反. 2.“对勾函数”y＝x＋(a>0)的单调增区间为(－∞，－)，(，＋∞)；单调减区间是[－，0)，(0，]. 【典型题分析】 高频考点一 确定不含参函数的单调性(区间) 例1.（2020·新课标Ⅱ）设函数，则f(x)（ ） A. 是偶函数，且在单调递增 B. 是奇函数，且在单调递减 C. 是偶函数，且在单调递增 D. 是奇函数，且在单调递减 【方法技巧】确定函数单调性的方法 (1)定义法．利用定义判断． (2)导数法．适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数． (3)图象法．由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接． (4)性质法．利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性． 【变式探究】（2020·河北辛集中学模拟）函数f(x)＝|x2－3x＋2|的单调递增区间是(　　) A. B.和[2，＋∞) C．(－∞，1]和 D.和[2，＋∞) 高频考点二 确定含参函数的单调性 例2.（2020·北京101中学模拟）判断并证明函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性． 【方法技巧】判断函数单调性常用以下几种方法： (1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论． (2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性． (3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间． (4)性质法：①对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及f(x)±g(x)增减性质进行判断； 【变式探究】（2020·安徽蚌埠二中模拟）判断并证明函数f(x)＝ax2＋(其中1<a<3)在[1,2]上的单调性． 高频考点三 函数的最值 例3.(2018·全国Ⅱ)若f(x)＝cos x－sin x在[0，a]上是减函数，则a的最大值是(　　) A. B. C. D．π 【方法技巧】求函数最值(值域)的常用方法 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. (4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值. 【变式探究】（2020·湖北襄阳四中模拟）若函数f(x)＝的最小值为f(0)，则实数a的取值范围是(　　) A．[－1,2] B．[－1,0] C．[1,2] D．[0,2] 高频考点三 解不等式 例3.（2020·河南洛阳一中模拟）f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，则不等式f(x)＋f(x－8)≤2的解集为________． 【方法技巧】求解函数不等式问题，主要是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域以及函数奇偶性质的应用． 【变式探究】（2020·湖南长郡中学模拟）设函数f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f(－3)＝0，则f(x)<0的解集是(　　) A．{x|－3<x<0或x>3