专题08 计数原理——2020年高考数学（理）母题题源解密（全国Ⅰ专版）

专题08 计数原理 【母题来源一】【2020年高考全国Ⅰ卷理数】的展开式中x3y3的系数为 A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】C 【解析】展开式的通项公式为（且）， 所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为： 和， 在中，令，可得：，该项中的系数为， 在中，令，可得：，该项中的系数为， 所以的系数为. 故选：C 【名师点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题. 求得展开式的通项公式为（且），即可求得与展开式的乘积为或形式，对分别赋值为3，1即可求得的系数，问题得解. 【母题来源二】【2019年高考全国Ⅰ卷理数】我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在所有重卦中随机取一重卦，基本事件总数为， 该重卦恰有3个阳爻的基本事件的个数为， 所以该重卦恰有3个阳爻的概率为=. 故选A． 【名师点睛】对利用排列、组合计算古典概型的问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题，再根据古典概型的概率计算公式可求解． 【母题来源三】【2018年高考全国Ⅰ卷理数】从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有__________种．（用数字填写答案） 【答案】16 【解析】根据题意，没有女生入选有种选法， 从6名学生中任意选3人有种选法， 故至少有1位女生入选，则不同的选法共有种. 故答案为：16． 【名师点睛】该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到至多、至少问题时多采用间接法，即利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有1名女生和有2名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解． 【命题意图】 1.考查排列数、组合数公式，考查运算求解能力、分类讨论的思想及分析问题与解决问题的能力． 2.考查二项式定理及其应用，意在考查学生的逻辑推理能力和基本计算能力． 【命题规律】 1.排列、组合问题一般以实际问题为背景，考查排列数、组合数、分类和分步计数原理，也可能与古典概型相结合进行考查. 2.高考对二项式定理的考查主要是利用二项展开式的通项求展开式中的特定项、特定项的系数、二项式系数等，同时考查赋值法与整体法的应用，题型一般为选择题、填空题. 【答题模板】 1.求解排列、组合问题，一般步骤如下： 第一步：分清分类和分步； 第二步：分清排列与组合，确定解题方向，根据问题有序和无序，确定是排列问题还是组合问题； 第三步：正确应用公式运算求解. 2.求解二项式问题，一般步骤如下： 第一步：首先求出二项展开式的通项； 第二步：根据已知求； 第三步：得出结论. 【方法总结】 1.解排列、组合综合应用问题的思路： 解排列、组合综合应用问题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手，“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有无限制等；“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥的几类，然后逐类解决；“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决. 2.排列问题与组合问题的识别方法： 若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，即排列问题与选取元素顺序有关； 若交换某两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取元素顺序无关. 3.解排列、组合题的“24字方针，12个技巧”： （1）“24字方针”是解排列、组合题的基本规律：即排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类为加、分步为乘． （2）“12个技巧”是速解排列、组合题的捷径．即： ①相邻问题捆绑法；②不相邻问题插空法；③多排问题单排法；④定序问题倍缩法； ⑤定位问题优先法；⑥有序分配问题分步法；⑦多元问题分类法；⑧交叉问题集合法； ⑨至少(多)问题间接法；⑩选排问题先取后排法；⑪局部与整体问题排除法；⑫复杂问题转化法． 4.熟记二项式定理及通项：叫做二项式定理，为展开式的第项． 5.活用二项式系数的性质 （1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即. （2）增减性与最大值：二项式系数为，当时，二项式系数是递增的；当时，二项式系数是递减的，当是偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值；当是奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值． （3）各二项式系数的和： 的展开式的各个二项式系数的和等于，即. 二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即. 6.求展开式系数的最大项：如求的展开式