湖南省娄底市2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题

1 2020 年上期高二期末联考数学答案 考试时间：120 分钟；总分 150 分 一. 选择题（本大题 12 小题，共 60 分） DAACC BBABC DB 提示： 11：由题意得，把5个消防队分成三组，可分为1,1,3，1,2,2两类方法， （1）分为1,1,3，共有 1 1 3 5 4 3 2 2 10 C C C A = 种不同的分组方法； （2）分为1,2,2，共有 1 2 2 5 4 2 2 2 15 C C C A = 种不同的分组方法； 所以分配到三个演习点，共有 3 3(10 15) 150A+  = 种不同的分配方案，故选 D． 12.画出函数 ( )f x 的图象，设 ( ) ( )f a f b k= = ，则 ( 2,4k .由 1 2 2 log a k+ = ，2b k= ， 得 2 1 2 k a −   =     ， 2logb k= ， 2 2 1 log 2 k b a k −   − = −    . 设函数 ( ) 2 2 1 log 2 x x xg −   = −     ， ( 2,4x ，结合函数图像，即可求得答案 B. 二. 填空题（本大题 4小题，共 20 分） 13. -84 14. 2y x e= − 15． 81 16 16. √𝟐 三. 解答题（本大题 6 小题，共 70分） 17.（本小题满分 10分） 已知在等比数列 {𝒂𝒏} 中，𝒂𝟏 = 𝟏, 且𝒂𝟐 是 𝒂𝟏 和 𝒂𝟑 − 𝟏 的等差中项． (1)求数列{𝒂𝒏} 的通项公式； (2)若数列{𝒃𝒏}满足 𝒃𝒏 = 𝟐𝒏 − 𝟏 + 𝒂𝒏(𝒏 ∈ 𝑵 ∗)，求{𝒃𝒏}的前 n项和𝑺𝒏． 解： 设公比为 q， ，则 ， ． 是 和 的等差中项． ， ， ，解得 ． 2 ． ． 的前 n 项和 ． 18.（本小题满分 12分）已知 a ，b ， c 是△ ABC 中角 A， B ，C 的对边，且 3cos cos 2B C + = 23sin sin 2cosB C A+ ． （1）求角 A的大小； （2）若△ ABC 的面积 5 3S = ， 5b = ，求 sin sinB C 的值． 解：（1）由 23cos cos 2 3sin sin 2cosB C B C A+ = + ， 得 ( ) 23cos 2 2cosB C A+ + = ． 即 22cos 3cos 2 0A A+ − = ．即 (2cos 1)(cos 2) 0A A− + = ． 解得 1 cos 2 A = 或 cos 2A = − （舍去）． 因为0 A  ，所以 A  =  ． （2）由 1 3 sin 5 3 2 4 S bc A bc= = = ，得 20bc = ． 因为 5b = ，所以 4c = ． 由余弦定理 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − ，得 2 1 25 16 2 20 =21 2 a = + −   ， 故 21a = ． 根据正弦定理 2 sin sin sin a b c R A B C = = = ， 得 5 sin sin sin sin 7 b c B C A A a a =  = ． 3 19.（本小题满分 12分）如图，三棱锥𝑷 − 𝑨𝑩𝑪中，𝑷𝑪 ⊥平面𝑨𝑩𝑪,𝑷𝑪 = 𝟑, ∠𝑨𝑪𝑩 = 𝝅 𝟐 . 𝑫、E分别为线段 AB，BC 上的点，且𝑪𝑫 = 𝑫𝑬 = √𝟐, 𝑪𝑬 = 𝟐𝑬𝑩 = 𝟐． (𝟏)证明：𝑫𝑬 ⊥平面 PCD； (𝟐)求二面角𝑨 − 𝑷𝑫 − 𝑪的余弦值． 解(1)证明： ∵ 𝑃𝐶 ⊥平面 ABC，𝐷𝐸 ⊂平面 ABC，∴ 𝑃𝐶 ⊥ 𝐷𝐸． ∵ 𝐶𝐷 = 𝐷𝐸 = √2, 𝐶𝐸 = 2𝐸𝐵 = 2， 则𝐶𝐷2 + 𝐷𝐸2 = 𝐶𝐸2， 故△ 𝐶𝐷𝐸为等腰直角三角形，𝐶𝐷 ⊥ 𝐷𝐸． ∵ 𝑃𝐶 ∩ 𝐶𝐷 = 𝐶，PC、𝐶𝐷 ⊂平面 PCD， ∴ 𝐷𝐸 ⊥平面 PCD； (2)解：由(1)知，△ 𝐶𝐷𝐸为等腰直角三角形，∠𝐷𝐶𝐸 = 𝜋 4 ． 过 D 作 DF 垂直 CE 于 F，则𝐷𝐹 = 𝐹𝐶 = 𝐹𝐸 = 1，