专题09 实数与向量相乘及向量的线性运算（提高）-2020-2021学年九年级数学暑假班精讲专题（沪教版）

专题09 实数与向量相乘及向量的线性运算（提高） 【目标导向】 1．理解实数与向量相乘的定义及向量数乘的运算律； 2. 对于给定的一个非零实数和一个非零向量，能画出它们相乘所得的向量； 3．认识两个平行向量的代数表达形式； 4. 在向量的线性运算和平行向量定理的学习与应用中体会代数与几何的联系. 【知识点精讲梳理】 要点一、实数与向量相乘 1. 实数与向量相乘的意义： 一般地，设为正整数，为向量，我们用表示个相加；用表示个相加.又当为正整数时，表示与同向且长度为的向量. 要点诠释： 设P为一个正数，P就是将的长度进行放缩，而方向保持不变；-P也就是将的长度进行放缩，但方向相反. 2．向量数乘的定义 一般地，实数与向量的相乘所得的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下： （1）如果时，则： ①的长度：；②的方向：当时，与同方向；当时，与反方向； （2）如果时，则：，的方向任意. 实数与向量相乘，叫做向量的数乘. 要点诠释： （1）向量数乘结果是一个与已知向量平行（或共线）的向量； （2）实数与向量不能进行加减运算； （4）表示向量的数乘运算，书写时应把实数写在向量前面且省略乘号，注意不要将表示向量的箭头写在数字上面； （5）向量的数乘体现几何图形中的位置关系和数量关系. 3. 实数与向量的相乘的运算律： 设为实数，则： （1）（结合律）； （2）（向量的数乘对于实数加法的分配律）； （3） （向量的数乘对于向量加法的分配律） 要点二、平行向量定理 1.单位向量：长度为1的向量叫做单位向量. 要点诠释： 任意非零向量与它同方向的单位向量的关系：，. 2.平行向量定理：如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数，使. 要点诠释： （1）定理中，，的符号由与同向还是反向来确定. （2）定理中的“”不能去掉，因为若，必有，此时可以取任意实数，使得成立. （3）向量平行的判定定理：是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量平行. （4）向量平行的性质定理：若向量与非零向量平行，则存在一个实数，使. （5）A、B、C三点的共线若存在实数λ，使 . 要点三、向量的线性运算 1．向量的线性运算定义： 向量的加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. 要点诠释： （1）如果没有括号，那