专题18 双切线型-2021年高考数学压轴题解法分析与强化训练

专题18 双切线型 [真题再现] 例1 （2020·新课标Ⅰ·理科·11）已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点共圆，且，根据可知，当直线时，最小，求出以为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线的方程． 【解析】圆的方程可化为，点到直线的距离为，所以直线与圆相离． 依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而， 当直线时，，，此时最小． ∴即，由解得，． 所以以为直径的圆的方程为，即， 两圆的方程相减可得：，即为直线的方程． 例2 （2020·南通高考考前模拟卷（一）·13）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l:y=kx+6上存在点P，过点P作圆O: x2+ y2=4的切线，切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1 x2+ y1y2=－2，则实数k的取值范围为 . 【答案】(－∞，－]∪[，＋∞) 【分析】由x1 x2+ y1y2=－2的结构联想“数量积”的定义，“算两次”得∠ACB=1200，双切线问题利用对称性，转化为特征直角△PAC，易得∠APC=300，PC=4，故当直线l:y=kx+6上的点P 只需满足PC=4即满足题意.而点C与直线上点间的距离，以垂线段最短，故只需C到直线的距离不大于4. 【解析】由x1 x2+ y1y2=－2得： ，则， 在△PAC，∠APC=300，PC=4， 当直线l上的点 P满足PC=4即满足题意. 又因为点C与直线上点间的距离，以垂线段最短，故只需C到直线的距离不大于4. 由点到直线的距离公式得：，解之得 所以k的取值范围为(－∞，－]∪[，＋∞). 例3 （2019·苏大考前指导卷·12）过点作圆: 的切线,切点分别为,则 的最小值为__________. 【答案】 【分析】为了求出的最小值，需建立目标函数，这里选择使用数量积的定义作为突破口，选择线段长为“元”. 设∠APC=，则，， 故 又点在直线，故即 所以 故 的最小值为. 点评：（1）求最值问题要牢固树立建立目标函数的意识； （2）涉及从圆外一点向圆引两条切线的相关线段长计算问题，常将双切线问题转化为一条切线问题，抓住“特征直角三角形”，向点与圆心的距离问题转