专题19 以图形为背景的两角差的正切-2021年高考数学压轴题解法分析与强化训练

专题19 以图形为背景的两角差的正切 [真题再现] （2020·镇江三模·11）《九章算术》是我国古代著名数学经典，其对勾股定理的论述比西方早一千多年．其中有这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意为：今有直角三角形，勾（短直角边）长5步，股（长直角边）长12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长为多少？在如图所示中，求得正方形的边长后，可求得__________． 【答案】 【分析】利用平几中的三角形相似或三角函数知识，不难求出正方形的边长，这里，应化斜为直，将看作、的差，在直角三角形、求出、，再利用两角差正切公式计算即可. 【解析】设正方形的边长，由题知：，解得. 所以，. 故. 即的值为. 点评： （1） 本题难度并不大，主要以数学文化为背景，考查两角差的正切公式，考查学生分析问题的能力.但在应试的背景下，学生往往找不到方向，不会化斜为直，而使用正、余弦定理等去解决，这无疑给解题带来了难度，甚至误入死胡同. （2） 以图形为背景考查两角和与差的正切乐为命题者所喜好. [强化训练] 1.（2018·苏州一模·10）如图，两座建筑物AB，CD的高度分别是9m和15m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的张角，则这两座建筑物AB和CD的底部之间的距离 m． D C B A （第10题图） 【答案】18 【提示】过A作CD的垂线，利用两角和的正切公式布列方程. 2.（2019·扬、泰、南、淮、徐、宿、连七市三模·12）如图，有一壁画，最高点A处离地面6 m，最低点B处离地面3.5 m．若从离地高2 m的C处观赏它，则C离墙________m时，视角θ最大． 　　　 【答案】 【提示】过C作AB的垂线，利用两角差的正切公式建立关于两点地面间距离的目标函数，再利用基本不等式. 3. （2010·江苏·17）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=，∠ADE=. （1） 该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值； （2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度.若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，-最大？ 【答案】（1）124m； （2）m. 【解析】]本题