专题20 极值、最值型-2021年高考数学压轴题解法分析与强化训练

专题20 极值、最值型 [真题再现] 例1 (2020·泰州五模)已知，是函数，的两个极值点，若， 则的取值范围为　 　． 【答案】 【分析】先由题得所以，化简得=，再构造函数，利用导数求函数的值域即得解. 【解析】（） ∵，是函数的两个极值点 ∴是两个根， 由韦达定理得，且 故， 所以 令， 则 由， 所以在单调递减， 又当时，， ， 所以函数g(x)的值域为. 即的取值范围为. 点评：解决以极值为背景的范围问题，关键点有二，一是减元，二是构造函数，最终转化为区间上的最值问题. 例2 已知函数(aR)的最小值为2，则实数的值是_________. 【答案】或 【解析】∵， 当a≤0时，，∴是(0，)上的减函数， ∴函数无最小值，舍去； 当a＞0时，由得，， ∴在(0，)上单调递减，在(，)上单调递增， ∴函数的最小值为， 由，得， 解得或. [强化训练] 1. 设函数 有两个极值，实数的取值范围是____________. 【答案】(，0) 【解析】 ∵， 若函数有两个极值，则，解得， 故a的取值范围是(，0). 2.（2019·南京学情调研·14）若函数在和两处取得极值，且，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 [，) 【解析】∵函数在和两处取得极值，且 ∴方程有两个根和，且 考虑函数和的图象，利用导数，不难得到时，方程 有两个根 进一步的，由 构造函数，可知在区间上减，在区间上增，且 ∴，即，解之得 ∴，故 综上得：实数a的取值范围是． 3.（2019·扬州中学3月月考·14）已知函数有两个不同的极值点，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】 不难得出：，， （下略）. 4.（2020·苏大考前指导）已知函数（其中a为常数），设函数有两个极值点，若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】 【解析】 ， 若有两个极值点，则是方程的两个不等正实根， 易知．则，故， 要使恒成立，只需恒成立． 因为 令，则， 当时，，为减函数，所以． 由题意，要使恒成立，只需满足． 所以实数的取值范围． 5.已知函数f(x)＝ln x＋ax2