专题16 三点共线充要条件的向量定理型-2021年高考数学压轴题解法分析与强化训练

专题16 三点共线充要条件的向量定理型 [真题再现] 例1 （2020·天一中学六月模拟·12）已知中，边上的中线，若动点满足，则的最小值是______. 【答案】 【分析】由可得在线段上，故，而 ，有基本不等式立得. 【解析】由，得， 因为，所以在线段上 所以， 又因为， 则（当且仅当，即P为CM中点时，“=”成立）． 故的最小值是． 例2 （2020·扬州六月最后一卷·12）已知点是边长为2的正内一点，且，若，则 的最小值为_______. 【答案】 【分析】凑系数使其代数和为1，，取、，即，而可得M、E、F三点共线.再由极化恒等式得（其中D是BC的中点），，所以 的最小值为. 点评： 1.在平面内, 是不共线向量,设，P、A、B三点共线 上述结论可概括为“起点一致，终点共线，系数和为1”,利用此结论,可求交点位置向量或者两条线段长度的比值. 2.当条件中出现共起点的两个向量的线性组合时，应往三点共线方向考虑，特别的，当系数和不是“1”时，应化“1”. 例3 （2020·扬州上学期期末·14）在平面直角坐标系中，和是圆上两点，且，点P的坐标为（2,1），则的取值范围为 . 【答案】 【分析】设， 则 如图，延长至，使 为求的取值范围，只需求点的轨迹. 遇到圆的弦想中点、垂径定理，取中点为，设 中，，，故，即的轨迹是以为圆心，为半径的圆 ∴，即的取值范围为. 点评：（1）本题的关键是:逆用三点共线的充要条件,构造出向量，其起点为定点，转化为探究终点轨迹问题； （2）遇到圆的弦，应联想“取中点、垂径定理”； （3）已知条件不变，若所求变为求的取值范围，此时应设，则，想一想，为什么？ 例4 若是锐角的外心，，，，，则. 【答案】 【分析】由得，将变形为.如图，作，，则 三点共线，且. 在，，，故. O A C B D E [强化训练] 1.（2020届·南通12月考·13）已知中， ,且的最小值为，若为边上任意一点,则的最小值是 . 【答案】 【解析】由条件 ， 设，则，其系数和为1 设，则，故三点共线 由的最小值为，即点到的距离是 故 中，由余弦定理得,设的中点为，由极化恒等式得，而. ∴的最小值是 . 2.（2020·启东期初）正方形ABCD的边长为1，O为正方形ABCD的中心，过中心O的直线