专题17 三角形中线、角平分线、高线型-2021年高考数学压轴题解法分析与强化训练

专题17 三角形中线、角平分线、高线型 [真题再现] 例1 （2020·南通六月模拟·14）在三角形ABC中，D为BC边上一点，且，，则的最大值为__________． 【答案】 【分析一】为将已知中相关线段间的关系往所求之角的关系转化，利用“爪形结构”得出，从而将已知中所有条件“据于一式”之中.为出现所求，对其进行“求模”运算起到“化边”的作用，最后运用三角函数知识解决. 【解析一】在ABC中，由得： 两边取模得：，又 代入都转化为边得： 即， 由余弦定理得：，即 再由余弦定理得： 即， 所以 所以（当时，“=”成立）. 【分析二】设则,在△ABD和△ACD中,由正弦定理化简可得,由两角差的正弦公式,化简可得,根据正弦函数的值域即可求解的最大值. 【解析二】如图,由已知,设则, 在△ABC中,由正弦定理可得: , 在△ACD中,由正弦定理可得:. 所以 化简可得:,可得: . 可得的最大值为. 【分析三】注意到三角形ABD是等腰三角形，联想所求，作底边AB上的高，过C作AB上的高，“化斜为直”，充分运用“平几”知识解题. 【解析三】如下图，分别过D、C作AB边上的高DE、CF，故DE∥CF 在△ABD中，由三线合一知BE=AE 由DE∥CF，BD=2CD得BF=2AF， DE：CF=2：3 所以， 所以（当时，“=”成立）. 例2 （2020·盐城市高三第四次模拟考试·13）在△ABC中，AB＝10，AC＝15，∠A的平分线与边BC的交点为D，点E为边BC的中点，若＝90，则的值是 ． 【答案】 【分析】基底法，由于已知AB，AC的长度，应考虑以为基底.本题的关键是将向量如何用基底向量线性表示？——利用三角形内角平分线性质定理为最简途径，易求得，用“爪形”结构即可. 【解析】由角平分线定理可知 在△ABC中，由“爪形”结构得： ∵ ∴，求得 ∴． 例3 （2020·苏州大学·考前指导卷·14）已知D是边上一点，且，，，则的最大值为 ． 【答案】 【解析一】设，则，， 在中，， 在中，， 又， 所以，解得，① 在中，，即，② 由①②可得． 所以， 即，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为． 【解析二】因为，所以，即， 整理得到，两边平方后有， 所以即， 整理得到