专题11 三角形中最值问题-2021年高考数学压轴题解法分析与强化训练

专题11 三角形中最值问题 [真题再现] 例1 （2020·如皋中学创新班六月模拟·13）三角形ABC面积为S，若，则的最大值是_____. 【答案】 【分析】据果变形，将已知变形为，故，由余弦定理、面积公式转化为求∠C范围的问题，直接利用基本不等式求解. 【解析】将已知变形为， 故， 由余弦定理得 所以. 另一方面，由余弦定理得： （当且仅当时，“=”成立） 所以，故. 所以的最大值是. 点评： 本题采用“边化角”的策略，然后使用基本不等式求解，思路清晰明了. 例2 （2019·无锡·期末）在锐角三角形 ABC 中，已知 2sin2 A+ sin2B = 2sin2C，则的最小值为　　　　． 【答案】 【解析一】（作高线，化斜为直，角化边）由正弦定理，得：， 如图，作BD⊥AC于D，设AD＝x，CD＝y，BD＝h， 因为，所以，，化简，得： ，解得：x＝3y ，，， ＝＝ ＝＝. 【解析二】（边化角）由正弦定理，得：，即，由余弦定理得：，即，由正弦定理，得：，即，化简得， 以主元，化简得. 例3 在中，角所对的边分别为，若，则的面积的最大值为 ． 【答案】 【解法一】（边的方向）看到式子的结构特征，联想余弦定理得： 所以 当时，，的面积的最大值为． 【解法二】（利用中线长定理化边） 联想三角形中线长定理，设BC边上的中线为AM，则 ∵ ∴ 代人得：，即 根据基本不等式得： 又因为三角形一边上的中线不小于该边上的高 所以 所以，，当且仅当中线等于高，即中线垂直于底边时，等号成立，此时的面积的最大值为． 【解法三】（利用隐圆） 以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系． 设A，B，C(x，y)，则由a2＋b2＋2c2＝8， 得2＋y2＋2＋y2＋2c2＝8，即x2＋y2＝4－c2， 所以点C在以原点(0,0)为圆心，为半径的圆上， 所以S≤＝≤. 例4 在△中，角的对边分别为，若△为锐角三角形，且满足，求的取值范围. 【答案】 【解析】 由余弦定理可得，可得， 所以，即， 由正弦定理可得，即， 可得，可得， 所以. 因为△为锐角三角形，所以，则，即， 所以， 又由可得， 在△可得， 所以的取值范围为. [强化训练] 1.若的内角满足，则角的最大值是 . 【答案】 【解