专题12 多次使用基本不等式-2021年高考数学压轴题解法分析与强化训练

专题12 多次使用基本不等式 [真题再现] 例1 （2020·江苏考试研究会·14）设，，则 的最小值为 . 【答案】 【分析】所求变形为.三次使用基本不等式，第一次，在条件下，求最小值，需使用“1”的代换化齐次；第二次，在条件下，求最小值，为达到消的目的，需拆凑放缩（解答所给方法）或直接使用基本不等式；第三次，直接运用互倒型，使用基本不等式.三次使用基本不等式取等条件相互独立，从而最小值能够取得. 【解析】由题x+4y=1(x＞0，y＞0)， ==+1+≥4+1=5，当且仅当x=，y=时，“=”成立． 因为0＜t＜s，则=≥，当且仅当s=2t时，“=”成立． 于是+≥5s2+≥4， 当且仅当x=，y=，s=，t=时，“=”成立． 所以+的最小值为4． 点评: 多元变量的最值问题是一种常见的题型，也是高考命题的热点，其解法灵活多变，较难把握.当目标式中有的变量间彼此独立，相互间没有制约条件时，使用分离变量法，多次使用基本不等式即可. 例2 （2020·徐州打靶卷·14）已知正数a,b满足，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】由平方均值不等式得，当且仅当时，“=”成立 由变形得 所以，当且仅当，即 ，，“=”成立 将 ，代入得. 所以的最小值是． 例3 已知a＞0，b＞0，c＞2，且a＋b＝2，那么＋－＋的最小值为________． 【答案】＋ 【分析】a、b间有制约条件“a＋b＝2”，“c”为独立变量，故将所求变形为＋－＋＝c＋，先求出＋的最小值即可. 【解析】因为a＞0，b＞0，所以＋－＝＋－＝＋－＝＋≥，当且仅当b＝a时等号成立． 又因为c＞2，由不等式的性质可得＋－＋＝c＋≥c＋. 又因为c＋＝(c－2)＋＋≥＋，当且仅当c＝2＋时等号成立， 所以＋－＋的最小值为＋. 点评：本题中有三个变量,其中两个变量间有约束条件.先求出其最值，然后使用不等式的性质放缩，再使用一次基本不等式. [强化训练] 1.（2020·扬州五月调研·12）已知x＞0，y＞0，则的最小值为 ． 2.已知，则的最小值为 ． 3.（2019·苏北三市第一学期期末联考·14）已知，，，且，则的最小值为 ． 4. （2020·海安中学12月考·11） 设正实数，满足，则实数的最小值为　　． 5.（20