专题13 极化恒等式-2021年高考数学压轴题解法分析与强化训练

专题13 极化恒等式 [真题再现] 例1 （2020·南师大《数学之友》考前模拟·14）在△ABC中，AC＝2BC＝4，∠ACB为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且MN＝1，若的最小值为，则cos∠ACB＝ ． 【答案】 【分析】取MN的中点P，由极化恒等式将“的最小值为”转化为AB边上的高CH=1，然后利用两角差的的余弦公式求解. 【解析】取MN的中点P，则由极化恒等式得 ∵的最小值为 ∴ 由平几知识知：当CP⊥AB时，CP最小. 如图，作CH⊥AB，H为垂足，则CH=1 又AC＝2BC＝4，所以∠B＝30o，sinA= 所以cos∠ACB＝cos（150o －A）=. H 点评: 极化恒等式：. 说明：（1）极化恒等式的几何意义是：设点是△ABC边的中点，则，即：向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差． （2）具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合. （3）遇到共起点的两向量的数量积问题，常取第三边的中点，从而运用极化恒等式加以解决. 例2 已知平面向量满足，，，，那么的最小值为________． 【答案】 【解析】由，得，即 又（其中为向量与的夹角） 所以 所以. 例3 （2019·宿迁期末·12）如图所示，矩形ABCD的边AB=4，AD=2，以点C为圆心，CB为半径的圆与CD交于点E，若点P是圆弧(含端点B、E)上的一点，则·的取值范围是 . 【答案】 【分析】取AB的中点设为O，则，然后利用平几知识确定PO的取值范围，代入即可. 【解析】取AB的中点设为O，则， 当O、P、C共线时， PO取得最小值为；当P 与B（或E）重合时，PO取得最大值为PO=2， 所以的取值范围是. [强化训练] 1.若平面向量a，b满足|2a－b|≤3，则a·b的最小值为________. 2.已知平面向量a，b，e满足|e|＝1，a·e＝1，b·e＝－2，|a＋b|＝2，那么a·b的最大值为________． 3.在中，已知，，则面积的最大值是 ． 4.已知锐角的外接圆的半径为1， ，则的取值范围为__________． 5.已知正