专题06 超越不等式（方程）型-2021年高考数学压轴题解法分析与强化训练

专题06 超越不等式（方程）型 [真题再现] 例1 （2020·南京三模·20改编）已知函数(aR)，其中e为自然对数的底数，若函数的定义域为R，且，求a的取值范围． 【答案】(2，4) 【解析】由函数f(x)的定义域为R，得x2－ax＋a≠0恒成立， 所以a2－4a＜0，解得0＜a＜4． 方法1（讨论单调性） 由f(x)＝，得f'(x)＝． ①当a＝2时，f(2)＝f(a)，不符题意． ②当0＜a＜2时， 因为当a＜x＜2时，f ′(x)＜0，所以f(x)在(a，2)上单调递减， 所以f(a)＞f(2)，不符题意． ③当2＜a＜4时， 因为当2＜x＜a时，f ′(x)＜0，所以f(x)在(2，a)上单调递减， 所以f(a)＜f(2)，满足题意． 综上，a的取值范围为(2，4)． 方法2（转化为解超越不等式，先猜根再使用单调性） 由f(2)＞f(a)，得＞． 因为0＜a＜4，所以不等式可化为e2＞(4－a)． 设函数g(x)＝(4－x)－e2， 0＜x＜4． 因为g'(x)＝ex·≤0恒成立，所以g(x)在(0，4)上单调递减． 又因为g(2)＝0，所以g(x)＜0的解集为(2，4)． 所以，a的取值范围为(2，4)． 例2 （2016·宿迁三校学情调研·14）已知函数f(x)＝x－1－(e－1)lnx，其中e为自然对数的底，则满足f(ex)＜0的x的取值范围为 ． 【答案】 【解析】易得f(1)＝f(e)=0 ∵ ∴当时，，在单减；当时，，在单增 ∴的解集是 令，得，故f(ex)＜0的x的取值范围为． 例3 （2020·扬州五月测试·20改编）不等式的解集是 . 【答案】 【解法一】显然是方程一个根 令，则 故在单增，且 所以不等式的解集是. 【解法二】变形为 设， 而在单减，在单增，且图象均过（1,0） 所以不等式的解集是. 例4 方程的根是 . 【答案】 【分析】利用“同构”构造函数，再利用函数的单调性. 【解析】原方程可化为 设，易得其为上的单增奇函数 所以，即为所求. [强化训练] 1. （2020·北京·6）已知函数，则不等式的解集是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【分析】作出函数和的图象，观察图象可得结