专题08 函数奇偶性型-2021年高考数学压轴题解法分析与强化训练

专题08 函数奇偶性型 [真题再现] 例1 （2020·扬州中学五月考·13）圆与曲线相交于点四点，为坐标原点，则_______. 【分析】注意发现圆与一次分式函数的图象均关于点(−3, 2)对称，利用三角形中线的向量表示，将所求转化即可. 【解析】由圆方程，可得，圆心坐标为(−3, 2) ，其对称中心为(−3, 2). 在同一直角坐标系中，画出圆和函数图像如右图所示： 数形结合可知，圆和函数都关于点M(−3, 2)对称， 故可得其交点A和C，B和 D 都关于点M(−3, 2)对称. 故， 所以. 例2 （2017·全国Ⅲ·理）已知函数有唯一零点，则a= A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】如果利用导数研究的零点，就会小题大做，容易陷入困难.由函数与方程思想，函数的零点满足. 设，显然是由函数向右平移一个单位而得到，易知是偶函数且在上是增函数.故关于直线对称，且在上是增函数，在上是减函数，. 设，显然关于直线对称，顶点为. 若，则函数关于直线对称，且在上是减函数，在上是增函数，最大值为，. 若的图象与的图象有一个公共点A，根据对称性必有另一个公共点B.所以，不合题意； 若，函数关于直线对称，且在上是增函数，在上是减函数，最小值为.若的图象与的图象只有一个公共点，必有，得. 【解析】，令 则易知是偶函数，所以图象关于直线对称，欲使有唯一零点， 必有，即，所以. 例3 已知关于x的方程有唯一解，则实数a的值为________. 【答案】1 【分析】利用隐藏的对称性，易得f(0)＝0，求得a＝1或a＝－3，再利用数形结合，将增解舍弃. 【解析】通过对函数f(x)＝x2＋2alog2(x2＋2)＋a2－3的研究，可发现它是一个偶函数，那么它的图象就关于y轴对称，若有唯一解，则该解必为0． 将x＝0代入原方程中，可求得a＝1或a＝－3．这就意味着，当a＝1或a＝－3时，原方程必有一解0，但是否是唯一解，还需进一步验证． 当a＝1时，原方程为x2＋2log2(x2＋2)－2＝0，即2log2(x2＋2)＝2－x2，该方程实数根的研究可能过函数y＝2log2t和函数y＝4－t的交点情况来进行，不难发现，此时是符合题意的；而当a＝－3时，原方程为x2－6log2(x2＋2)＋6＝0，即x2＋6＝6log2(x2＋2)．通