专题10 向量的形-2021年高考数学压轴题解法分析与强化训练

专题10 向量的形 [真题再现] 例1 （2020·常州上学期期末·14）在中，点满足，且对任意，恒成立，则______. 【答案】 【分析】设，则点P在过点B且平行于AC的直线上，而恒成立的几何意义是：过点B且平行于AC的直线上的任意一点与点A的距离以最小，根据平面几何知识知，必有，即，进而可得、的值，结合余弦定理计算可得. 【解析】根据题意，在中，点满足. 设，则. ∵ ∴对任意，恒成立，必有，即. ∵ ∴， ∴. ∴ 故. 例2 （2013·安徽·文13）若非零向量满足，则夹角的余弦值为_______. 【答案】 【分析】注意到条件，构造如图所示等腰直角三角形，为底边上的中线.设，，则.在，. 所以夹角的余弦值为. O C A B 例3 （2008·浙江·理9改编）已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足,则的最大值是 . 【答案】 【解法一】 展开得 则的最大值是. 【解法二】注意到题目中两个垂直，及，利用数形结合, 如图,对应的点在圆上即可. [强化训练] 1.已知在△ABC中，AB＝5，AC＝10，，点P为△ABC内（包含边界）一点，且()，则的最小值为 ． 【答案】 2.（2020·镇江三模·12）已知在△OAB中，OA＝，OB＝2，∠AOB＝135°，P为平面OAB上一点，且()，当OP最小时，向量与的夹角为 ． 【答案】 3.（2020·苏大考前指导·11）已知向量，，满足，，则的最小值为________． 【答案】 4.已知平面向量α，β （α≠ 0，α≠β ）满足|β |=1，且α与β- α的夹角为120°，则|a| 的取值范围是 . 【答案】 【解析】设，，由余弦定理可知：，要求的取值范围，则将方程视为以为主元的一元二次方程，由判别式可得. 5.已知，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足,则的最大值是___________ . 【答案】 6.已知向量，，满足，，则的取值范围为 ． 【答案】 7.（1）已知，若对任意，，则为_______三角形.（在锐角、直角、钝角中选择一个填写） （2）已知，若对任意，，则为______三角形 （在锐角、直角、钝角中选择一个填写） （3）已知，若