专题3.2 导数与函数的单调性-2021年高考数学（文）一轮复习-题型全归纳与高效训练突破

2021年高考文科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破 专题3.2 导数与函数的单调性 目录 一、题型全归纳 1 题型一 利用导数判断(证明)函数的单调性 1 题型二 求函数的单调区间 3 题型三 函数单调性的应用 4 命题角度一　比较大小或解不等式 4 命题角度二　已知函数单调性求参数的取值范围 4 题型四 分类讨论思想研究函数的单调性 6 二、高效训练突破 7 一、题型全归纳 题型一 利用导数判断(证明)函数的单调性 【题型要点】导数法证明函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤 (1)求f′(x)． (2)确认f′(x)在(a，b)内的符号． (3)作出结论：f′(x)>0时为增函数；f′(x)<0时为减函数. 【易错提醒】研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论． 【例1】(2020·高考全国卷一卷节选)已知函数.当时，讨论的单调性； 【例2】.(2020·高考全国卷二卷节选)已知函数f（x）=2lnx+1．设a>0时，讨论函数g（x）=的单调性． 题型二 求函数的单调区间 【题型要点】利用导数求函数单调区间的方法 (1)当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0求出单调区间． (2)当方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分区间，确定各区间内f′(x)的符号，从而确定单调区间． (3)当导函数的方程、不等式都不可解时，根据f′(x)的结构特征，利用图象与性质确定f′(x)的符号，从而确定单调区间． 【易错提醒】所求函数的单调区间不止一个时，这些区间之间不能用“∪”及“或”连接，只能用“，”及“和”隔开．　 【例1】已知函数f(x)＝aln x－x－(a∈R)．求函数f(x)的单调区间． 【例2】已知函数f(x)＝＋－ln x－，求函数f(x)的单调区间． 题型三 函数单调性的应用 命题角度一　比较大小或解不等式 【题型要点】利用导数比较大小或解不等式的常用技巧 利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式． 【例1】已知函数f′(x)是函数f(x)的导函数，f(1)＝，对任意实数都有f(x)－f′(x)>0，设F(x)＝，则不等式F(x)<的解集为(　　) A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(1，e) D．(e，＋∞) 命题角度二　已知函数单调性求参数的取值范围 【题型要点】利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路 (1)由函数在区间[a，b]上单调递增(减)可知f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间[a，b]上恒成立，列出不等式． (2)利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题． (3)对等号单独检验，检验参数的取值能否使f′(x)在整个区间恒等于0，若f′(x)恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有f′(x)＝0，则参数可取这个值． 【例2】已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax2＋2x(a≠0)． (1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围； (2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1，4]上单调递减，求a的取值范围． 题型四 分类讨论思想研究函数的单调性 【题型要点】含参数函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能： (1)方程f′(x)＝0是否有根； (2)若f′(x)＝0有根，求出根后是否在定义域内； (3)若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法． 【例】已知f(x)＝a(x－ln x)＋，a>0.讨论f(x)的单调性． 二、高效训练突破 一、选择题 1．函数f(x)＝ex－ex，x∈R的单调递增区间是(　　) A．(0，＋∞)　　　　　 B．(－∞，0) C．(－∞，1) D．(1，＋∞) 2.函数f(x)＝cos x－x在(0，π)上的单调性是(　　) A．先增后减　　　　　 B．先减后增 C．增函数 D．减函数 3．(2020·河北省九校第二次联考)函数y＝x＋＋2ln x的单调递减区间是(　　) A．(－3，1) B．(0，1) C．(－1，3) D．(0，3) 4.已知f(x)＝aln x＋x2(a>0)，若对任意两个不相等的正实数x1，x2，都有>2恒成立，则a的取值范围为(　　) A.(0，1] B.(1，＋∞) C.(0，1) D.[1，＋∞) 5.函数f(x)＝的图象大致为(　　) 6.已知f(x)＝，则(　　) A．f(2)＞f(e)＞f(3) B．f(3)＞f(e)＞f(2) C．f(3)＞f(2)＞f(e) D．f(e)＞f(3)＞f(2) 7.(2020·唐山市摸底考试)设函数f(x)＝x