专题3.4 高考解答题热点题型（一）利用导数证明不等式-2021年高考数学（文）一轮复习-题型全归纳与高效训练突破

2021年高考文科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破 专题3.4 高考解答题热点题型（一）利用导数证明不等式 目录 一、题型全归纳 1 题型一 作差法构造函数证明不等式 1 题型二 拆分法构造函数证明不等式 3 题型三 换元法构造函数证明不等式 5 题型四 两个经典不等式的应用 6 二、高效训练突破 7 一、题型全归纳 题型一 作差法构造函数证明不等式 【题型要点】(1)欲证函数不等式f(x)＞g(x)(x＞a)，只需证明f(x)－g(x)＞0(x＞a)，设h(x)＝f(x)－g(x)，即证h(x)＞0(x＞a)．若h(a)＝0，h(x)＞h(a)(x＞a)．接下来往往用导数证得函数h(x)是增函数即可． (2)欲证函数不等式f(x)＞g(x)(x∈I，I是区间)，只需证明f(x)－g(x)＞0(x∈I)． 设h(x)＝f(x)－g(x)(x∈I)，即证h(x)＞0(x∈I)，也即证h(x)min＞0(x∈I)(若h(x)min不存在，则须求函数h(x)的下确界)，而这用导数往往容易解决． 【例1】(2020·广州模拟)已知函数f(x)＝ex－ax(e为自然对数的底数，a为常数)的图象在点(0,1)处的切线斜率为－1. (1)求a的值及函数f(x)的极值； (2)证明：当x＞0时，x2＜ex. 【例2】已知函数f(x)＝ax＋xln x在x＝e－2(e为自然对数的底数)处取得极小值． (1)求实数a的值； (2)当x＞1时，求证：f(x)＞3(x－1)． 题型二 拆分法构造函数证明不等式 【题型要点】(1)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，则可以考虑转化为两个函数的最值问题． (2)在证明过程中，等价转化是关键，此处f(x)min>g(x)max恒成立．从而f(x)>g(x)，但此处f(x)与g(x)取到最值的条件不是同一个“x的值”．　 【例1】设函数f(x)＝ax2－(x＋1)ln x，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为0. (1)求a的值； (2)求证：当0＜x≤2时，f(x)＞x. 【例2】已知函数f(x)＝eln x－ax(a∈R)． (1)讨论f(x)的单调性； (2)当a＝e时，求证：xf(x)－ex＋2ex≤0. 题型三 换元法构造函数证明不等式 【题型要点】换元法构造函数证明不等式的基本思路是直接消掉参数a，再结合所证问题，巧妙引入变量c＝，从而构造相应的函数．其解题要点为： 联立消参 利用方程f(x1)＝f(x2)消掉解析式中的参数a 抓商构元 令c＝，消掉变量x1，x2，构造关于c的函数h(c) 用导求解 利用导数求解函数h(c)的最小值，从而可证得结论 【例1】已知函数f(x)＝ln x－ax2＋x，a∈R. (1)当a＝0时，求函数f(x)的图象在(1，f(1))处的切线方程； (2)若a＝－2，正实数x1，x2满足f(x1)＋f(x2)＋x1x2＝0，求证：x1＋x2≥. 题型四 两个经典不等式的应用 【题型要点】逻辑推理是得到数学结论，构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证.利用两个经典不等式解决其他问题，降低了思考问题的难度，优化了推理和运算过程. （1）对数形式：x≥1＋ln x（x＞0），当且仅当x＝1时，等号成立. （2）指数形式：ex≥x＋1（x∈R），当且仅当x＝0时，等号成立.进一步可得到一组不等式链：ex＞x＋1＞x＞1＋ln x（x＞0，且x≠1）. 【例1】设函数f(x)＝ln x－x＋1. (1)讨论f(x)的单调性； (2)求证：当x∈(1，＋∞)时，1＜＜x. 二、高效训练突破 1.(2020·四省八校双教研联考)已知函数f(x)＝ax－axln x－1(a∈R，a≠0)． (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)当x>1时，求证：>－1. 2.(2020·唐山市摸底考试)设f(x)＝2xln x＋1. (1)求f(x)的最小值； (2)证明：f(x)≤x2－x＋＋2ln x. 3.(2020·福州模拟)已知函数f(x)＝eln x－ax(a∈R)． (1)讨论f(x)的单调性； (2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0. 4.(2019·高考北京卷节选)已知函数f(x)＝x3－x2＋x. (1)求曲线y＝f(x)的斜率为1的切线方程； (2)当x∈[－2，4]时，求证：x－6≤f(x)≤x. 5.已知函数f(x)＝ln x－ax(x＞0)，a为常数，若函数f(x)有两个零点x1，x2(x1≠x2)．求证：x1x2＞e2. 6.已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，证明 7.已知函数f(x)＝－x＋aln x. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，证明：＜a－