专题3.5 高考解答题热点题型（二）利用导数解决不等式恒（能）成立问题-2021年高考数学（文）一轮复习-题型全归纳与高效训练突破

2021年高考文科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破 专题3.5 高考解答题热点题型（二）利用导数解决不等式恒(能)成立问题 目录 一、题型全归纳 1 题型一 恒成立问题 1 类型一 分离参数法求范围 1 类型二 把参数看作常数利用分类讨论方法解决 3 题型二 能成立问题 5 题型三 不等式存在性成立问题 6 二、高效训练突破 8 一、题型全归纳 题型一 恒成立问题 类型一 分离参数法求范围 【题型要点】1.若f(x)≥a或g(x)≤a恒成立，只需满足f(x)min≥a或g(x)max≤a即可，利用导数方法求出f(x)的最小值或g(x)的最大值，从而问题得解． 2.利用分离参数法来确定不等式f(x，λ)≥0(x∈D，λ为实参数)恒成立问题中参数取值范围的基本步骤： (1)将参数与变量分离，化为f1(λ)≥f2(x)或f1(λ)≤f2(x)的形式． (2)求f2(x)在x∈D时的最大值或最小值． (3)解不等式f1(λ)≥f2(x)max或f1(λ)≤f2(x)min，得到λ的取值范围． 【例1】(2020·石家庄质量检测)已知函数f(x)＝axex－(a＋1)(2x－1)． (1)若a＝1，求函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程； (2)当x＞0时，函数f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围． 【例2】已知f(x)＝xln x，g(x)＝x3＋ax2－x＋2. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若对任意x∈(0，＋∞)，2f(x)≤g′(x)＋2恒成立，求实数a的取值范围． 类型二 把参数看作常数利用分类讨论方法解决 【题型要点】1.对于不适合分离参数的不等式，常常将参数看作常数直接构造函数，常用分类讨论法，利用导数研究单调性、最值，从而得出参数范围． 2.遇到f(x)≥g(x)型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数h(x)＝f(x)－g(x)或“右减左”的函数u(x)＝g(x)－f(x)，进而只需满足h(x)min≥0或u(x)max≤0，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数最值的问题，适用范围较广，但是往往需要对参数进行分类讨论． 【例3】(2020·合肥六校联考)已知函数f(x)＝(x＋a－1)ex，g(x)＝x2＋ax，其中a为常数． (1)当a＝2时，求函数f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)若对任意的x∈[0，＋∞)，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围． 【例4】设函数f(x)＝(1－x2)ex. (1)讨论f(x)的单调性； (2)当x≥0时，f(x)≤ax＋1，求实数a的取值范围． 题型二 等价转化法解决能成立问题 【题型要点】存在x∈[a，b]，f(x)≥a成立⇔f(x)max≥a. 存在x∈[a，b]，f(x)≤a成立⇔f(x)min≤a. 存在x1∈[a，b]，对任意x2∈[a，b]，f(x1)≤g(x2)成立⇔f(x)min≤g(x)min. 【例1】已知函数f(x)＝3ln x－x2＋x，g(x)＝3x＋a. (1)若f(x)与g(x)的图象相切，求a的值； (2)若∃x0＞0，使f(x0)＞g(x0)成立，求参数a的取值范围． 题型三 不等式存在性成立问题 【题型要点】①任意x1∈M，任意x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x1)min>g(x2)max； ②任意x1∈M，存在x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x1)min>g(x2)min； ③存在x1∈M，存在x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x1)max>g(x2)min； ④存在x1∈M，任意x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x1)max>g(x2)max. 【例1】已知函数f(x)＝x－(a＋1)ln x－(a∈R)，g(x)＝x2＋ex－xex. (1)当x∈[1，e]时，求f(x)的最小值； (2)当a<1时，若存在x1∈[e，e2]，使得对任意的x2∈[－2,0]，f(x1)<g(x2)恒成立，求a的取值范围． 二、高效训练突破 1.已知f(x)＝xln x，g(x)＝x3＋ax2－x＋2. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若对任意x∈(0，＋∞)，2f(x)≤g′(x)＋2恒成立，求实数a的取值范围． 2.(2020·哈尔滨六中模拟)已知函数f(x)＝xln x＋ax2－1，且f′(1)＝－1. (1)求函数f(x)的解析式； (2)若对任意x∈(0，＋∞)，都有f(x)－2mx＋1≤0，求m的取值范围； (3)证明函数y＝f(x)＋2x的图象在g(x)＝xex－x2－1图象的下方． 3.已知函数f(x)＝. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若f(x)<kex在(1，＋∞)上恒成立，求实数k的取值范围． 4.已知函数f(