专题3.7 导数的综合应用（选填题）-2021年高考数学（文）一轮复习-题型全归纳与高效训练突破

2021年高考文科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破 专题3.7 导数的综合应用（选填题） 目录 一、题型全归纳 1 题型一 　利用导数求解函数的零点或方程的根的问题 1 题组高效训练突破 3 题型二 　利用导数研究不等式的有关问题 7 题组高效训练突破 9 题型三 构造法求f(x)与f′(x)共存问题 15 类型一 f′(x)g(x)±f(x)g′(x)型 15 类型二 xf′(x)±nf(x)(n为常数)型 16 类型三 f′(x)±λf(x)(λ为常数)型 18 一、题型全归纳 题型一 　利用导数求解函数的零点或方程的根的问题 【题型要点】利用导数研究函数零点或方程根的方法 (1)通过最值(极值)判断零点个数的方法 借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围． (2)数形结合法求解零点 对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围． (3)构造函数法研究函数零点 ①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解． ②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法.　 　　　 【例1】(2020·汉中模拟)若函数与满足：存在实数t，使得＝，则称函数为的“友导”函数．已知函数为函数的“友导”函数，则的取值范围是(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，2] C．(1，＋∞) D．[2，＋∞) 【例2】(2020·江西七校第一次联考)已知函数y＝f(x)是R上的可导函数，当x≠0时，有f′(x)＋>0，则函数F(x)＝x·f(x)－的零点个数是(　　) A．0　　　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 题组高效训练突破 1．方程x3－6x2＋9x－10＝0的实根个数是(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 2.(2020·贵阳摸底)函数f(x)＝ex＋a－x3＋2x2在(0，＋∞)上只有一个零点，则a的值为(　　) A．4 B．4ln 2－3 C．2 D．5ln 2－4 3.(2020·江西赣州模拟)若函数f(x)＝aex－x－2a有两个零点，则实数a的取值范围是(　　) A.　　　 B． C. D． 4.已知f(x)＝1－，过点(k,0)与f(x)相切的直线有且仅有3条，则k的取值范围是(　　) A．(－∞，2－e2) B．(－∞，2－e2] C．(－∞，4－e2) D．(－∞，4－e2] 5.已知函数f(x)的定义域为[－1，4]，部分对应值如下表： x －1 0 2 3 4 f(x) 1 2 0 2 0 f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示．当1<a<2时，函数y＝f(x)－a的零点有 个． 6．若函数f(x)＝＋1(a<0)没有零点，则实数a的取值范围为 ． 7.对于定义在R上的函数f(x)，若存在非零实数x0，使函数f(x)在(－∞，x0)和(x0，＋∞)上均有零点，则称x0为函数f(x)的一个“折点”．现给出下列四个函数： ①f(x)＝3|x－1|＋2；②f(x)＝lg |x＋2019|；③f(x)＝－x－1；④f(x)＝x2＋2mx－1(m∈R)． 则存在“折点”的函数是________．(填序号) 题型二 　利用导数研究不等式的有关问题 【题型要点】1．利用导数证明不等式成立问题的常用方法 (1)直接将不等式转化成某个函数最值问题 若证明f(x)<g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果F′(x)<0，则F(x)在(a，b)上是减函数，同时若F(a)≤0，由减函数的定义可知，x∈(a，b)时，有F(x)<0，即证明了f(x)<g(x)． (2)将待证不等式转化为两个函数的最值进行比较证明 在证明不等式中，若待证不等式的变形无法转化为一个函数的最值问题，可借助两个函数的最值证明，如要证f(x)≥g(x)在D上成立，只需证明f(x)min≥g(x)max即可． 2．不等式在某个区间上恒成立(存在性成立)问题的转化途径 (1)f(x)≥a恒成立⇔f(x)min≥a，；存在x使f(x)≥a成立⇔f(x)max≥a. (2)f(x)≤b恒成立⇔f(x)max≤b，存在x使f(x)≤b成立⇔f(x)min≤b. (3)f(x)>g(x)恒成立F(x)min>0. (4)①任意x1∈M，任意x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x1)min>g(x2)max；②任意x1∈M，存在x2∈N，f(x1)>g(x2